Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 2, Questão 19

  1. Calcule a massa do sólido   W : x 2 + y 2 1 , x 2 + y 2 + z 2 4 e z 0 , sendo a densidade dada por ρ x ,   y ,   z = 2 z .

Passo 1

Cara, massa de um sólido a essa altura do campeonato para a gente não é nada mais é do que uma integral tripla

M a s s a W = W ρ x ,   y ,   z d V

Onde já temos a função de densidade ρ x ,   y ,   z = z . Mas aí surge uma duvida:

  • Quem é o sólido W que estamos trabalhando?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para responder essa pergunta aqui, basta que desenhemos essas superfícies aí juntas. Veja só!

Primeiro desenhe a esfera de raio 2   ( x 2 + y 2 + z 2 4 ) centrada na origem:

Agora, corte esse pedacinho de esfera aí pelo cilindro ( x 2 + y 2 1 ) de raio 1 :

Ahhhh! Lembre-se de que estamos acima do plano x y , heim ;)

Passo 3

Pow! estamos dentro de um cilindro, então nada mais justo que pensarmos na mudança para coordenadas cilíndricas, certo?

Então troquemos...

x = r cos θ  

y = r sin θ

z = z

O J a c o b i a n o continua o mesmo

J = r

Ah! E sim, uma equação que ajuda muuuuuito é a equação da própria circunferência:

x 2 + y 2 = r 2

Como sempre, só terminamos uma troca depois que verificamos onde cada um desses novos termo ( r ,   θ   e   z ) variam!

Passo 4

No caso, r é bem easy de se encontrar, afinal de contas ele é o cara que está variando da origem até a casca do cilindro vermelho:

0 r 1

θ , easy também, pois como ele gira ao redor do eixo z no plano x y , vemos que ele precisa dar uma volta completa, logo

0 θ 2 π

Em relação a ultima variável, o z , perceba que ele varia de uma base até um teto:

B a s e z T e t o

P l a n o   v e r d e z E s f e r a   A z u l

como a esfera azul é x 2 + y 2 + z 2 = 4 , isolando...

z = 4 - x 2 + y 2

0 z 4 - x 2 + y 2

Sim, estamos em outras coordenadas agora, então

0 z 4 - r 2

Passo 5

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

W   ρ ( x ,   y , z )   d V = W     2 z   d V

Lembre-se de substituir pelas coordenadas cilíndricas e não deixar de multiplicar pelo J a c o b i a n o ;)

0 2 π 0 1 0 4 - r 2 2 z   J d z d r d θ =

Resolvendo a integral de dentro...

0 2 π 0 1 r 0 4 - r 2 2 z   d z d r d θ =

0 2 π 0 1 r 2 z 2 2 0 4 - r 2 d r d θ =

substituindo e simplificando...

0 2 π 0 1 r 4 - r 2 2 d r d θ = 0 2 π 0 1 r 4 - r 2 d r d θ =

em seguida calculando a integral do meio

0 2 π 0 1 4 r - r 3 d r d θ =

0 2 π 4 r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ =

0 2 π 2 - 1 4 d θ =

Chegamos a...

7 4 0 2 π d θ = 7 2 π

Resposta

7 2 π

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