Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

USP, Cálculo 3, P1 - 2016, Questão 3

Calcule a massa do sólido dado por

S = x , y , z R 3 x 2 + y 2 + z 2 9 ; x 2 + y 2 + z 2 4 1 ; z 0 }

Com densidade δ x , y , z = x 2 + y 2

Passo 1

Para calcular a massa vamos precisar da seguinte integral:

M = W δ x , y , z d V

Vamos então ter que descobrir os limites de integração de W , certo? O esboço é esse aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Dá pra ver que o termo x 2 + y 2 aparece em todas as equações apresentadas no enunciado, né? Vamos fazer uma mudança de coordenadas cilíndricas então, vai facilitar muito nossas contas:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Substituindo isso nas nossas superfícies vamos ter que, para a esfera:

r 2 + z 2 9

E para o elipsoide:

r 2 + z 2 4 = 1

Passo 3

Percebe que vamos ter que dividir nossa região em duas aqui, não tem como fugir disso nessa questão. Em um momento o sólido varia entre 0 e a esfera e em outro momento varia entre o elipsoide e a esfera.

Esse momento aqui tem uma sacada, presta atenção nisso aqui! Nossa integral, substituindo as novas variáveis na densidade δ e acrescentando o jacobiano fica assim:

M = W r 2 . r d z d r d θ = W r 3 d z d r d θ

Se definirmos os limites de forma a integrar z primeiro, como geralmente é feito, perceba que os limites ficariam

0 z 9 - r 2

4 - r 2 z 9 - r 2

Ou seja, não ficaria nada fácil de integrar em r depois! Por isso, nessa questão, vamos fazer uma coisa diferente, vamos definir r como funções de z , é só isolar r nas equações da esfera e do elipsoide, fica assim:

E s f e r a r 2 + z 2 = 9 r = 9 - z 2

E l i p s o i d e r 2 + z 2 4 = 1   r = 1 - z 2 4

Vamos chamar de região I aquela que r está limitado pelo elipsoide e pela esfera, isso acontece no intervalo de z entre 0 e 2 , logo seus limites vão ser:

1 - z 2 4 r 9 - z 2

0 z 2

0 θ 2 π

Por que z agora aparece variando entre dois números? Geralmente a gente já faz isso sem perceber até, só que, no jeito mais comum, é o r que ficaria variando entre 0 e 2 , por exemplo. No nosso problema, como já definimos r variando entre funções de z , vai ser z que varia entre números!

Vamos fazer o mesmo para a região I I , já limitamos z entre 0 e 2 , falta agora a região em que z varia entre 2 e 3 . Nesse caso, olhando pelo gráfico, vemos que o raio r varia entre 0 e a esfera. Portanto:

0 r 9 - z 2

2 z 3

0 θ 2 π

Passo 4

Definidos os limites, vamos reescrever nossa integral:

M = 0 2 π 0 2 1 - z 2 4 9 - z 2 r 3 d r d z d θ + 0 2 π 2 3 0 9 - z 2 r 3 d r d z d θ

Passo 5

Integrando em r

= 0 2 π 0 2 r 4 4 r = 1 - z 2 4 r = 9 - z 2 d z d θ + 0 2 π 2 3 r 4 4 r = 0 r = 9 - z 2 d z d θ

= 1 4 0 2 π 0 2 9 - z 2 2 - 1 - z 2 4 2 d z d θ + 1 4 0 2 π 2 3 9 - z 2 2 d z d θ

Da para juntar aqui a segunda integral com parte da primeira! Percebe que 9 - z 2 2 aparece limitado por 0 e 2 π em θ nas duas integrais e, em z , está limitado por 0 a 2 em seguida por 2 a 3 . Podemos, portanto, juntar esses dois termos em uma só integral que z vai de 0 a 3 !

= 1 4 0 2 π 0 3 9 - z 2 2 d z d θ   - 1 4 0 2 π 0 2 1 - z 2 4 2 d z d θ

= 1 4 0 2 π 0 3 81 - 18 z 2 + z 4 d z d θ - 1 4 0 2 π 0 2 1 - z 2 2 + z 4 16 d z d θ

Passo 6

Integrando em z

= 1 4 0 2 π 81 z - 18 z 3 3 + z 5 5 z = 0 z = 3 d θ - 1 4 0 2 π z - z 3 6 + z 5 80 z = 0 z = 2 d θ

Juntando tudo na mesma integral:

= 1 4 0 2 π 243 - 162 + 243 5 - 2 + 4 3 - 2 5 d θ

= 1 4 0 2 π 1928 15 d θ

Passo 7

Integrando em θ

= 1 4 1928 15 θ θ = 0 θ = 2 π

= 1 4 1928 15 2 π = 964 π 15

Resposta

M = 964 π 15

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