Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFPE, Calculo 2, 3º EE - 2014.2, Questão 2

Calcule

S x 2 + y 2 d x d y d z

Onde S é a região do espaço limitada lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 , superiormente pelo plano z = 4 e inferiormente pelo paraboloide z = 1 - x 2 + y 2

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço da nossa região S , ela é composta por um cilindro com uma tampa plana em cima e um paraboloide em baixo, olha só

Tanto o paraboloide quanto o cilindro possuem o termo x 2 + y 2 , certo? Deve ajudar bastante utilizar coordenadas cilíndricas aqui então. Vamos fazer essa mudança!

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Vemos que o limite inferior de z é o paraboloide e o superior é o plano z = 4 , por isso

z = 1 - x 2 + y 2 = 1 - r 2

Os limites de z são:

1 - r 2 z 4

Projetando tudo isso no plano x y temos um círculo de raio 1

Com isso,

0 r 1

0 θ 2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de juntar tudo na integral, vamos ver como fica a função que precisamos integrar

x 2 + y 2 = r 2 = r

Pronto! Agora sim vamos colocar tudo na integral, não se esqueça do jacobiano

S x 2 + y 2 d x d y d z = 0 2 π 0 1 1 - r 2 4 r . r d z d r d θ

0 2 π 0 1 1 - r 2 4 r 2 d z d r d θ

Passo 3

Agora é só integrar! Vamos começar aqui em relação a z

0 2 π 0 1 r 2 . z z = 1 - r 2 z = 4 d r d θ =

= 0 2 π 0 1 r 2 4 - 1 - r 2 d r d θ

= 0 2 π 0 4 r 2 3 + r 2 d r d θ = 0 2 π 0 1 3 r 2 + r 4 d r d θ

Integrando em relação a r

0 2 π 3 r 3 3 + r 5 5 0 1 d θ = 0 2 π 3 3 + 1 5 d θ

= 0 2 π 6 5 d θ

Por fim, integrando em relação a θ

= 6 5 θ θ = 0 θ = 2 π = 6 5 . 2 π

= 12 π 5

Resposta

12 π 5

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