Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 2, Questão 11

  1. Calcule W   x 2 + y 2   d V , onde W é o sólido limitado pelas superfícies z = 1 2 x 2 + y 2 e z = 2 .

Passo 1

Pow! Para começar exercícios como esse, sim, vamos começar como sempre é recomendado: desenhando o sólido W ;)

Bem, esse sólido está no interior desse paraboloide z = 1 2 x 2 + y 2 ...

só que está delimitado superiormente por um plano z = 2

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Passo 2

Bem, como estamos trabalhando dentro de uma parabolóide, nada mais legal que pensarmos em uma mudança para coordenadas cilíndricas.

onde vamos trocar

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z                  

O jacobiano dessa mudança é

J = r

E uma equação que nos ajuda, tipo, muuuuuuito é a equação do próprio cilindro:

x 2 + y 2 = r 2

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 3

Vamos começar aqui falando do mais fácil: esse ângulo θ que a esfera dá uma volta completa ao redor do eixo z , logo

0 θ 2 π

Quanto ao z , bem ele já está um pouquinho mais elaborado, pois se você reparar novamente no sólido, você poderá notar que ele está variando da seguinte forma

P a r a b o l o i d e   V e r m e l h o z P l a n o   V e r d e

ou, em equações...

1 2 x 2 + y 2 z 2

estamos trabalhando com as coordenadas cilíndricas agora, logo, precisamos trocar esses termos aí

1 2 r 2 z 2

Quanto ao r , bem... Venha comigo!

Passo 4

Pow, o r está variando em cima do x e y principalmente de acordo com a mudança, então, não é nada mais justo que olhemos para ó sólido

mas dessa vez, de cima para baixo, focando na projeção dele no plano X Y .

Repare que aparentemente, o raio está variando dentro desse círculo aí, certo? Mas não queremos nada mais ou menos e sim certeza. Então repare que esse círculo é formado pela interseção do plano com o elipsoide. Fazer essa interseção é resolver o sistema:

z = 1 2 x 2 + y 2 z = 2                                 2 = 1 2 x 2 + y 2              

x 2 + y 2 = 4

Opa!!! �� de fato uma circunferência com raio 2 , logo

0 r 2

Passo 5

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

W   x 2 + y 2   d V

Lembre-se de substituir pelas coordenadas cilíndricas e não deixar de multiplicar pelo J a c o b i a n o ;)

0 2 π 0 2 1 2 r 2 2   r 2   J   d z d r d θ =

0 2 π 0 2 1 2 r 2 2   r 2   d z d r d θ

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

0 2 π 0 2 r 2 1 2 r 2 2     d z d r d θ =

0 2 π 0 2 r 2 z 1 2 r 2 2 d r d θ =

0 2 π 0 2 r 2 2 - 1 2 r 2 d r d θ =

0 2 π 0 2 2 r 2 - 1 2 r 4   d r d θ =

Integrando o do meio agora

0 2 π 0 2 2 r 2 - 1 2 r 4   d r d θ =

0 2 π 2 r 3 3 - 1 2 r 5 5 0 2 d θ = 0 2 π 2 2 3 3 - 1 2 2 5 5 d θ

ganhamos...

16 3 - 16 5 0 2 π d θ =

64 π 15

Resposta

64 π 15

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