Calcule ∭ w z   d V , onde w é o sólido limitado pelas superfícies z = 2 y e z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Pra começar essa questão, vamos começar igualando as superfícies, para ver a projeção no plano x y .

z = 2 y

z = x 2 + y 2

Logo

x 2 + y 2 = 2 y

Que é uma circunferência deslocada uma unidade no eixo y.

Repare que z = x 2 + y 2 é um paraboloide, enquanto z = 2 y é um plano. A interseção dessas duas coisas que vai ser uma circunferência, sacou?

Passo 2

Como estamos trabalhando com uma esfera, a primeira coisa que vem a mente seriam as coordenadas polares, certo? Mas como estamos trabalhando com uma integral prima, as coordenadas cilíndricas vão nos ajudar a resolver a questão.

Pela imagem de cima é possível observar que o θ varia de 0 a π . Para descobrirmos a variação de r, substituímos as coordenadas polares na função da circunferência que encontramos ao igualar as funções para achar a parametrização no plano x y .

x 2 + y 2 = 2 y

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 2   r   s e n θ  

r 2 = 2   r   s e n   θ

r = 2   s e n θ

Então agora sabemos que r vai desde zero, até o 2   s e n θ

Passo 3

Jogando os valores da parametrização nas funções

z = r 2

z = 2 ( r   s e n   θ )

Então ficamos, no final das contas, com

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2   s e n θ

r 2 ≤ z ≤ 2   r   s e n   θ  

Passo 4

Com isso tudo em mãos é só agora montar a integral e resolver. (sem esquecer o Jacobiano)

∭ W z   d V =   ∫ 0 π ∫ 0 2   s e n   θ ∫ r 2 2 r s e n θ z   r   d z   d r   d θ

= ∫ 0 π ∫ 0 2   s e n   θ 4 r 2 s e n 2 θ - r 4 2 r   d r   d θ

= ∫ 0 π 8 s e n 6 θ - 16 3 s e n 6 θ d θ

= 8 3 ∫ 0 π s e n 6 θ

Para resolver essa integral, vc tem que tem que se ligar que:

s e n 6 θ = s e n 4 θ ( 1 - cos 2 ⁡ θ )

= s e n 4 θ - s e n 4 θ cos 2 ⁡ θ

= 1 - cos ⁡ 2 θ 2 2 - 1 - cos ⁡ 2 θ 2 s e n 2 2 θ 4

Passo 5

Agora sim, com isso você resolver a integral.

= 8 3 ∫ 0 π s e n 6 θ

= 8 3 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 2 - 1 - cos ⁡ 2 θ 2 s e n 2 2 θ 4

= 5 π 6

Resposta

5 π 6  

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )