Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2019.1, Questão 3

Calcule w z   d V , onde w é o sólido limitado pelas superfícies z = 2 y e z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Pra começar essa questão, vamos começar igualando as superfícies, para ver a projeção no plano x y .

z = 2 y

z = x 2 + y 2

Logo

x 2 + y 2 = 2 y

Que é uma circunferência deslocada uma unidade no eixo y.

Repare que z = x 2 + y 2 é um paraboloide, enquanto z = 2 y é um plano. A interseção dessas duas coisas que vai ser uma circunferência, sacou?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos trabalhando com uma esfera, a primeira coisa que vem a mente seriam as coordenadas polares, certo? Mas como estamos trabalhando com uma integral prima, as coordenadas cilíndricas vão nos ajudar a resolver a questão.

Pela imagem de cima é possível observar que o θ varia de 0 a π . Para descobrirmos a variação de r, substituímos as coordenadas polares na função da circunferência que encontramos ao igualar as funções para achar a parametrização no plano x y .

x 2 + y 2 = 2 y

r 2 cos 2 θ + r 2 s e n 2 θ = 2   r   s e n θ  

r 2 = 2   r   s e n   θ

r = 2   s e n θ

Então agora sabemos que r vai desde zero, até o 2   s e n θ

Passo 3

Jogando os valores da parametrização nas funções

z = r 2

z = 2 ( r   s e n   θ )

Então ficamos, no final das contas, com

0 θ π

0 r 2   s e n θ

r 2 z 2   r   s e n   θ  

Passo 4

Com isso tudo em mãos é só agora montar a integral e resolver. (sem esquecer o Jacobiano)

W z   d V =   0 π 0 2   s e n   θ r 2 2 r s e n θ z   r   d z   d r   d θ

= 0 π 0 2   s e n   θ 4 r 2 s e n 2 θ - r 4 2 r   d r   d θ

= 0 π 8 s e n 6 θ - 16 3 s e n 6 θ d θ

= 8 3 0 π s e n 6 θ

Para resolver essa integral, vc tem que tem que se ligar que:

s e n 6 θ = s e n 4 θ ( 1 - cos 2 θ )

= s e n 4 θ - s e n 4 θ cos 2 θ

= 1 - cos 2 θ 2 2 - 1 - cos 2 θ 2 s e n 2 2 θ 4

Passo 5

Agora sim, com isso você resolver a integral.

= 8 3 0 π s e n 6 θ

= 8 3 0 π 1 - cos 2 θ 2 2 - 1 - cos 2 θ 2 s e n 2 2 θ 4

= 5 π 6

Resposta

5 π 6  

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