Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Manhã - 2

Calcule, usando integração, o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 , z = 2 e z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema; Temos o semicone z = x 2 + y 2 cortado pelos planos z = 1 e z = 2 :

A região W do problema é esse tronco de cone entre os planos azuis e nós queremos o seu volume:

V = W   d V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação do cone, temos:

z = x 2 + y 2 = r

Beleza, agora vamos pensar nos intervalos r ,   θ e z . Como a região dá a volta em torno do eixo z , podemos escrever 0 θ 2 π . Como o enunciado mesmo já diz, temos 1 z 2 . Beleza.

Agora vamos pensar no intervalo de r . Pela figura, vemos que r varia desde o eixo z , onde r = 0 até a superfície do cone, onde r = z , então 0 r z . Temos então:

W = r , θ , z 0 θ 2 π ;   1 z 2 ; 0 r z  

Passo 3

Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:

V = W   d V = 0 2 π 1 2 0 z r   d r d z d θ

Agora é só resolver isso aí!

V = 1 2 0 2 π 1 2 r 2 0 z d z d θ

V = 1 2 0 2 π 1 2 z 2 d z d θ

V = 1 6 0 2 π z 3 1 2 d θ

V = 7 6 0 2 π d θ

V = 7 π 3

Resposta

7 π 3

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