Calcule o valor da integral tripla I = ∭ E   z   d V , em que E está acima do plano z = 0 , abaixo do plano z = y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 , conforme mostra a figura abaixo.

Passo 1

Epa! Integral tripla dentro de um cilindro? Coordenadas cilíndricas na veia!

Ou seja, vamos trocar essas variáveis aí por:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Não podemos esquecer do jacobiano que nesse tipo de mudança é

J = r

Se lembra?

AH! Tô ligado, mas vêm cá: quais são os limites desses novos caras aí?

Hummm! Boa questão! Para determinar as variações dessas novas coordenadas, vamos olhar para o desenho do sólido E dado no problema. Vem comigo!

Passo 2

Bem, primeiro a gente tem que já ter em mente que o ângulo θ sempre começa no eixo x e varia positivamente no sentido anti-horário, dessa forma aqui:

Comparando com o sólido E do problema (esse pedacinho dentro dos dois planos)

Podemos perceber que esse ângulo dá uma meia volta, ou seja

0 ≤ θ ≤ π

Quanto ao raio r , bem ele inicia no eixo, em r = 0 e vai até o raio máximo desse cilindro verde, que de acordo com o enunciado, r = 2 ,

0 ≤ r ≤ 2

Bem, quanto ao último, o z (deixei o melhor para o final ), ele varia como o próprio exercício disse, ou seja, do plano z = 0 até o plano z = y , ou seja

0 ≤ z ≤ y

Como mudamos de coordenadas, o y virou r sin ⁡ θ , logo

0 ≤ z ≤ r sin ⁡ θ

Percebeu? :D

Passo 3

Bem, estamos agora preparadérrimos para voltar para a integral tripla e substituir todas essas coisas ! Veja só:

I = ∭ E   z   d V =

∫ 0 π ∫ 0 2 ∫ 0 r sen ⁡ θ z ∙ J d z d r d θ

Substituindo o Jacobiano...

∫ 0 π ∫ 0 2 ∫ 0 r sen ⁡ θ z r   d z d r d θ

Integral montada, bora calcula-la então!

Passo 4

Primeiro vamos integrar em z considerando todo resto constante:

∫ 0 π ∫ 0 2 r z 2 2 0 r sen ⁡ θ d r d θ =

Substituindo esses limites de integração

∫ 0 π ∫ 0 2 r r 2 sen 2 ⁡ θ 2 d r d θ =

1 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 r 3 sen 2 ⁡ θ d r d θ =

Agora integrando em r , sim considerando θ constante

1 2 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ r 4 4 0 2 d θ

Limites...

1 2 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ 2 4 4 d θ =

Lembrando que 2 4 = 2 4 = 2 ∙ 2 ...

1 2 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ 4 4 d θ =

1 2 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ d θ =

Bem, agora, para resolver essa integral aí, devemos recordar que podemos substituir esse cosseno aí por sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 .

1 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

Passando esse dois pro lado de fora...

1 4 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ d θ =

1 4 ∫ 0 π 1 d θ - ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ d θ =

A primeira integral sai direto,

1 4 π - ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 5

Quanto a segunda, vamos fazer uma substituição de 2 θ = a , assim

d a = 2 d θ         →             d θ = d a / 2

Não podemos esquecer-nos de mudar os limites de θ

θ = 0           →           2 θ = a             → a = 0

θ = π           →           2 θ = a             → a = 2 π

∫ 0 π cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ 0 2 π cos ⁡ a 2 d a = 1 2 sin ⁡ a 0 2 π

Substituindo os limites lembrando que sin ⁡ 2 π = sin ⁡ 0 = 0

∫ 0 π cos ⁡ 2 θ d θ = 0

Passo 6

Logo, retornando para onde paramos

1 4 π - ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ d θ =

1 4 π - 0 = π 4

Resposta

I = π 4

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )