Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

USP, Cálculo 3, P1 - 2010, Questão 2

Calcule o volume da região R dada por z 2 + 1 x 2 + y 2 e 5 z - 1 2 x 2 + y 2 .

Passo 1

O volume do sólido é dado por:

V = R   d x d y d z

Onde R é limitada por uma hiperboloide de uma folha e por um cone deslocado da origem:

Fazendo os cortes, temos o seguinte:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos escrever essa região de integração. Temos um cone e um hiperboloide, ambos com termos x 2 e y 2 nas equações, o que nos faz pensar em coordenadas cilíndricas.

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Fazendo a mudança no cone, temos:

5 z - 1 2 r 2

Para o hiperboloide:

z 2 + 1 r 2

Como o raio fica entre o cone e o hiperboloide, temos 5 z - 1 2 r z 2 + 1 .

Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 θ 2 π . Agora falta o intervalo de z .

Pela figura, percebemos que as superfícies se cortam duas vezes. Vamos fazer a interseção entre suas equações para descobrir onde isso ocorre:

r 2 = 5 z - 1 2 = z 2 + 1

5 z 2 - 2 z + 1 = z 2 + 1

4 z 2 - 10 z + 4 = 0

z 2 - 5 2 z + 1 = 0

z = 1 2 2

Então, 1 2 z 2 .

Podemos escrever a região R como:

R = ( r , θ , z ) | 0 θ 2 π ,   5 z - 1 2 r z 2 + 1 . , 1 2 z 2

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral:

V = R   d x d y d z = 1 / 2 2 5 z - 1 2 z 2 + 1 0 2 π r d θ d r d z

Passo 4

Integrando em relação a θ , temos:

= 1 2 2 5 z - 1 2 z 2 + 1 θ r 0 2 π d r d z =

= 2 π 1 / 2 2 5 z - 1 2 z 2 + 1 r d r d z =

Passo 5

Agora em relação a r :

= π 1 / 2 2 r 2 5 z - 1 2 z 2 + 1 d z =

= π 1 / 2 2 z 2 + 1 - 5 z - 1 2 d z =

= π 1 / 2 2 z 2 + 1 - 5 z 2 - 2 z + 1 d z =

= π 1 / 2 2 - 4 z 2 + 10 z - 4 d z =

Passo 6

Finalmente, em relação a z :

= π - 4 z 3 3 + 5 z 2 - 4 z 1 / 2 2 =

= 9 π 4

Resposta

9 π 4

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