Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 2, Questão 14

Calcule o volume do sólido W dado por x 2 + y 2 + z - 1 2 1 e z x 2 + y 2

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos uma esfera centrada em 0,0 , 1 . Como o cone está expresso na forma z = x 2 + y 2 e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z 0 . Temos, então, essa região da figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que

V = W   d V

Como a região é limitada por uma esfera e um paraboloide, podemos explicitar as curvas de limite de z , então vamos usar coordenadas cilíndricas.

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos ver quando as duas superfícies se cortam

  x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1

E temos

z = x 2 + y 2

Substituindo isso na primeira equação

z + z 2 - 2 z + 1 = 1

z 2 - z = 0

z 1 = 0

z 2 = 1

Eles vão se encontrar em z = 1 , ou seja,

x 2 + y 2 = 1

Trocando os valores de x e y em coordenadas cilíndricas vamos achar

r = 1

Então

0 r 1

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = x 2 + y 2   z = r cos θ 2 + r   s e n   θ 2

z = r 2

Esse é o limite inferior de z .

Vamos substituir na equação da esfera

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 + z - 1 2 = 1

r 2 + z - 1 2 = 1

z - 1 2 = 1 - r 2

z = 1 + 1 - r 2

Esse é o limite superior.

r 2 z 1 + 1 - r 2

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = r , θ , z 0 r 1 ; 0 θ 2 π ;   r 2 z 1 + 1 - r 2

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 1 r 2 1 + 1 - r 2 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π 0 1 r z z = r 2 z = 1 + 1 - r 2 d r d θ =

= 0 2 π 0 1 r + r 1 - r 2 - r 3 d r d θ =

Passo 6

Todas são de boa, menos

r 1 - r 2 d r

Fazendo a seguinte substituição

u = 1 - r 2

d u = - 2 r d r

- d u 2 = r d r

Substituindo na integral vamos encontrar

r 1 - r 2 d r = - 1 2 u d u = - 1 2 u 3 / 2 3 / 2 = - u 3 / 2 3

Voltando para r

- u 3 / 2 3 = - 1 - r 2 3 / 2 3

Passo 7

Vamos ter

0 2 π 0 1 r + r 1 - r 2 - r 3 d r d θ = 0 2 π r 2 2 - 1 - r 2 3 / 2 3 - r 4 4 r = 0 r = 1 d θ

0 2 π 1 2 2 - 1 4 4 - - 1 3 d θ = 0 2 π 7 12 d θ = 7 12 2 π - 0 = 7 π 6

Resposta

7 π 6

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