Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2014.2 - 5ª Vespertino, Questão 5

Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 36 - 3 x 2 - 3 y 2 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço da região. Temos dois paraboloides, um virado para cima e que passa pela origem, em vermelho e um virado para baixo (por causa dos coeficientes negativos em x 2 e y 2 ) e que corta o eixo z em z = 36 :

Nós queremos o volume desse sólido, dado por:

V = W   d V = W   d x d y d z

Onde W é a região limitada pelos paraboloides.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Substituir esses valores na equação do paraboloide azul:

z = 36 - 3 r cos θ 2 - 3 r   sen θ 2

z = 36 - 3 r 2  

Para o vermelho:

z = r cos θ 2 + r   sen θ 2

z = r 2

Como os valores de z variam entre o paraboloide vermelho e o azul, temos r 2 z 36 - 3 r 2 .

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 θ 2 π , faltam, então, os limites de r . Já sabemos que r 0 , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

z = r 2 = 36 - 3 r 2

4 r 2 = 36

r 2 = 9

r = 3

Portanto, descobrimos que 0 r 3 . Então, podemos escrever a região W como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 r 3 ; 0 θ 2 π ;   r 2 z 36 - 3 r 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 3 r 2 36 - 3 r 2 r   d z   d r   d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π 0 3 z   r r 2 36 - 3 r 2 d r   d θ =

= 0 2 π 0 3 36 r - 4 r 3 d r   d θ =

Passo 6

Agora em relação a r :

= 0 2 π 18 r 2 - r 4 0 3 d θ =

= 0 2 π 162 - 81 d θ =

= 81 0 2 π d θ =

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a θ :

= 81 θ 0 2 π =

= 162 π

Resposta

162 π

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