Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 36 - 3 x 2 - 3 y 2 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço da região. Temos dois paraboloides, um virado para cima e que passa pela origem, em vermelho e um virado para baixo (por causa dos coeficientes negativos em x 2 e y 2 ) e que corta o eixo z em z = 36 :

Nós queremos o volume desse sólido, dado por:

V = ∭ W   d V = ∭ W   d x d y d z

Onde W é a região limitada pelos paraboloides.

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Substituir esses valores na equação do paraboloide azul:

z = 36 - 3 r cos ⁡ θ 2 - 3 r   sen ⁡ θ 2

z = 36 - 3 r 2  

Para o vermelho:

z = r cos ⁡ θ 2 + r   sen ⁡ θ 2

z = r 2

Como os valores de z variam entre o paraboloide vermelho e o azul, temos r 2 ≤ z ≤ 36 - 3 r 2 .

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , faltam, então, os limites de r . Já sabemos que r ≥ 0 , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

z = r 2 = 36 - 3 r 2

4 r 2 = 36

r 2 = 9

r = 3

Portanto, descobrimos que 0 ≤ r ≤ 3 . Então, podemos escrever a região W como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 3 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   r 2 ≤ z ≤ 36 - 3 r 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 36 - 3 r 2 r   d z   d r   d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 z   r r 2 36 - 3 r 2 d r   d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 36 r - 4 r 3 d r   d θ =

Passo 6

Agora em relação a r :

= ∫ 0 2 π 18 r 2 - r 4 0 3 d θ =

= ∫ 0 2 π 162 - 81 d θ =

= 81 ∫ 0 2 π d θ =

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a θ :

= 81 θ 0 2 π =

= 162 π

Resposta

162 π

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )