Considere o campo F x , y , z = ( x / 3 , y / 3 , z / 3 ) e seja S a superfície do cone dado por z 2 = x 2 + y 2 com z ∈ [ 0,2 ] .

Calcule o volume do cone sólido dado por

E = x , y , z : z 2 ≥ x 2 + y 2 ,   z ∈ [ 0,2 ]

Usando a integral tripla.

Passo 1

Como a questão pede o volume do cone, sabemos que queremos isso aqui:

V = ∭ E   d x d y d z

Onde E é a região limitada pelo cone descrito do problema e o plano z = 2 .

Passo 2

Como a equação do cone apresenta termos quadráticos e a região tem simetria em relação ao eixo z , vamos fazer a substituição para coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Passo 3

Agora, precisamos descobrir os intervalos de integração. A mudança para coordenadas cilíndricas nos dá:

z 2 = r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = r 2

z = r

Temos, então, z variando entre r (cone) e o plano z = 2 .

Como o sólido está envolta do seu eixo de simetria z , sabemos que θ varia de 0 a 2 π , o que podemos ver pelo fato de a equação do cone ser independe de θ .

Agora precisamos descobrir o intervalo de r . Como o sólido envolve o eixo z , sabemos que r ≥ 0 , mas qual o seu valor máximo? O outro limite ocorre quando z = 2 , onde temos a maior circunferência do cone, então, vamos substituir esse valor na sua equação:

z 2 = x 2 + y 2   → 4 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2

r = 2

A região pode, então, ser escrita como:

W = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ r ≤ 2 ;   r ≤ z ≤ 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∭ E   d x d y d z = ∫ 0 2 π   ∫ 0 2   ∫ r 2 r   d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 2 r z z = r z = 2   d r d θ =

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 2 2 r - r 2 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π r 2 - r 3 3 r = 0 r = 2   d θ =

= ∫ 0 2 π 4 - 8 3 d θ =

= 4 3 ∫ 0 2 π d θ   =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 4 θ 3 0 2 π =

= 8 π 3

Resposta

8 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )