Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G4 - 2013.2, Questão 3a

Considere o campo F x , y , z = ( x / 3 , y / 3 , z / 3 ) e seja S a superfície do cone dado por z 2 = x 2 + y 2 com z [ 0,2 ] .

Calcule o volume do cone sólido dado por

E = x , y , z : z 2 x 2 + y 2 ,   z [ 0,2 ]

Usando a integral tripla.

Passo 1

Como a questão pede o volume do cone, sabemos que queremos isso aqui:

V = E   d x d y d z

Onde E é a região limitada pelo cone descrito do problema e o plano z = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a equação do cone apresenta termos quadráticos e a região tem simetria em relação ao eixo z , vamos fazer a substituição para coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Agora, precisamos descobrir os intervalos de integração. A mudança para coordenadas cilíndricas nos dá:

z 2 = r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 = r 2

z = r

Temos, então, z variando entre r (cone) e o plano z = 2 .

Como o sólido está envolta do seu eixo de simetria z , sabemos que θ varia de 0 a 2 π , o que podemos ver pelo fato de a equação do cone ser independe de θ .

Agora precisamos descobrir o intervalo de r . Como o sólido envolve o eixo z , sabemos que r 0 , mas qual o seu valor máximo? O outro limite ocorre quando z = 2 , onde temos a maior circunferência do cone, então, vamos substituir esse valor na sua equação:

z 2 = x 2 + y 2   4 = r cos θ 2 + r sen θ 2

r = 2

A região pode, então, ser escrita como:

W = { ( r , θ , z ) | 0 θ 2 π ; 0 r 2 ;   r z 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

E   d x d y d z = 0 2 π   0 2   r 2 r   d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π   0 2 r z z = r z = 2   d r d θ =

= 0 2 π   0 2 2 r - r 2 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= 0 2 π r 2 - r 3 3 r = 0 r = 2   d θ =

= 0 2 π 4 - 8 3 d θ =

= 4 3 0 2 π d θ   =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 4 θ 3 0 2 π =

= 8 π 3

Resposta

8 π 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas