Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G3 - 2014.2, Questão 2

Considere as constantes positivas a e b com 0 < b a e:

U = x , y , z R 3 |   x 2 + y 2 + z 2 a 2 ,   x 0 ,   y 0 ,   0 z b

Seja a integral tripla

I = I a , b = U x y z   d V

a) Para b < a esboce o desenho de U . Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas r , θ , z . Não é necessário calcular a integral!

b) Para b = a , calcule I em função de a .

Passo 1

a) Odeio quando colocam essas constantes. Cara, botava 1 , 2 , 348 , qualquer coisa... mas enfim, vamos lá XD

Bom, só o que precisamos fazer é analisar cada desigualdade do conjunto de pontos U , né? Vamos à primeira:

x 2 + y 2 + z 2 a 2

Isso aí é uma esfera de raio a , certo? Temos x , y e z , todos ao quadrado, com sinais positivos e mesmo denominador para cada variável! Show, então, até agora sabemos que U está na parte interior à esfera, pois o sinal é de .

Vamos para a segunda desigualdade:

x 0

Ela nos diz que, dada a esfera da primeira desigualdade, estamos apenas no hemisfério cujo x é maior ou igual a 0 !

Seguindo para a terceira, temos:

y 0

Opa, agora, além da restrição do x ser maior ou igual a y , temos a mesma restrição para o y ! Assim, estamos, agora, não em um hemisfério dela, mas no primeiro octante!

Finalmente, para a última restrição, teremos:

0 z b

Ela nos diz que, dessa calota no primeiro octante, ficamos apenas na parte entre 0 e b para o eixo z . Ou seja, se b for menor do que a , então estamos fatiando essa calota com um plano z = b . Para o caro de z = a , teremos a calota, bonitinha, como era pra ser ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos esboçar essa bagaça. Pela primeira restrição, tínhamos uma esfera de raio a . Pela segunda e terceira, pegamos apenas o primeiro octante. Pela terceira, fatiamos ela por um plano em z = b . Juntanot tudo, temos:

Esse esboço, naturalmente é da superfície de U ! Lembre que, como se trata de um volume, é tudo que está dentro dessa parte da esfera. Perceba que na parte de cima, como b < a , não vamos até o final da esfera ;)

Passo 3

Show! Com esse desenho, fica mais simples de montar a integral, né? Os limites de z já estão no enunciado, ele varia entre 0 e b . Os limites de θ , vemos pela figura: como x e y são maiores ou iguais a 0 , então θ está entre 0 e π 2 . Agora vem o raio... ele não está entre constantes né? Como estamos em coordenadas cilíndricas, para cada nível z , teremos o raio variando de 0 até um certo valor.

Que valor é esse? Veja, se z = 0 , então temos o raio variando entre 0 e a , certo? Se subirmos um pouco, para z = z 0 , então teremos que fazer um Pitágoras para saber esse raio. Sabemos que, para qualquer ponto da superfície da esfera, a distância entre o ponto e a origem é o raio dela, a . Então, montamos um triângulo com esse ponto qualquer, a origem e a altura z :

E, então, o raio será:

z 2 + r 2 = a 2

r = a 2 - z 2

Show? E, como estamos integrando um volume, ele varia de 0 a a 2 - z 2

Colocando todos os limites, e o jacobiano da mudança cilíndrica, temos:

0 b 0 π 2 0 a 2 - z 2 r x y z d r d θ d z

Colocando x = r cos θ , y = r sin θ , das coordenadas polares, temos:

0 b 0 π 2 0 a 2 - z 2 r r cos θ . r sin θ . z d r d θ d z =

0 b 0 π 2 0 a 2 - z 2 r 3 cos θ sin θ z d r d θ d z

Passo 4

b) Beleza, agora só resolver essa integral! Usando que sin 2 θ = 1 2 sin θ cos θ e colocando b = a , teremos:

1 2 0 a 0 π 2 0 a 2 - z 2 r 3 sin 2 θ z d r d θ d z

Integrando em relação a r , temos

1 2 0 a 0 π 2 r 4 4 sin 2 θ z 0 a 2 - z 2 d θ d z =

1 8 0 a 0 π 2 a 2 - z 2 2 sin 2 θ z d θ d z

Integrando em relação a θ , temos:

1 8 0 a - cos 2 θ 2 a 2 - z 2 2 sin 2 θ z 0 π 2   d θ d z =

Como cos π = - 1 ,

1 8 0 a a 2 - z 2 2 z   d z =

Agora, só fazer a distributiva, elevar ao quadrado, e integrar em relação a z   :D

1 8 0 a a 4 z - 2 a 2 z 3 + z 5   d z =

1 8 a 4 z 2 2 - 2 a 2 z 4 4 + z 6 6 0 a =

a 6 48

E aí está, a resposta, a integral é a 6 48 !

Resposta

a) 0 b 0 π 2 0 a 2 - z 2 r 3 cos θ sin θ z d r d θ d z

b) a 6 48

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