Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2018.2, Questão 3

Considere o sólido S delimitado pelo cilindo x 2 + y 2 = 16 e pelos planos y + z = 4 e z = 0 . Sabendo que a densidade em um ponto P de S é igual à distância do ponto até o eixo z , determine a massa de S .

Passo 1

Para calculo de massa, usamos

D x , y , x d V

Onde o x , y , z é a nossa função densidade, que segundo o enunciado, é a distancia de um ponto P do sólido até o eixo z , oque não é nada mais do que x 2 + y 2 .

Como eu achei isso? Com a fórmula da distância entre dois pontos! Imagine que as coordenadas do ponto P são ( x , y , z ) . No eixo z , as coordenadas sempre são da forma ( 0 , 0 , z ) . Fazendo a distância entre esses dois pontos achamos:

d 2 = x - 0 2 + y - 0 2 + z - z 2

d 2 = x 2 + y 2

d = x 2 + y 2

Observe que a projeão do cilindo no plano x y é uma circunferência de raio 4. Observamos também que z varia entre 0 e ( 4 - y ) . Mudando para coordenada cilindricas, onde z = z ,     x = r cos θ ,     y = r   s e n θ   e   J = r . Com isso o sólido fica descrito com 0 θ 2 π , 0 z ( 4 - r s e n θ ) e 0 r 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Botando no papel e não esquecendo nosso querido jacobiano, ficamos com

0 2 π 0 4 0 4 - r s e n θ r . r   d z d r d θ =

0 2 π 0 4 r 2 4 - r s e n θ d r d θ =

0 2 π 4 3 r 3 - r 4 4 s e n θ 0 4 d θ =

4 4 2 π 3 + 1 4 c o s θ 0 2 π =

= 512 π 3

Resposta

512 π 3

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