Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNICAMP, Cálculo 2, Exame - 2014.2 - 6ª Matutino, Questão 3

Determine o volume do sólido entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 e os cones z = x 2 + y 2 e z = - x 2 + y 2

Passo 1

Ele quer o volume desse sólido, vamos chamar esse sólido de W , o volume vai ser

V = W d x d y d z

Vamos entender como é esse sólido agora.

Temos dois cilindros, então o sólido vai ser entre os dois cilindros que ele deu.

O detalhe é como vai ser a tampa dessa parada.

Repara que x 2 + y 2 é sempre positivo, porque é uma raiz quadrada, e - x 2 + y 2 é sempre negativo porque tem aquele menos ali.

Então podemos dizer que z vai do cone negativo ao cone positivo. Vamos ver como fica o gráfico dessa parada

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como esse sólido tem simetria em relação ao eixo z e temos dois cilindros bonitinhos com um monte de termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Teremos

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Temos que descobrir agora os limites de integração. Primeiro, já vimos que ele vai de um cilindro ao outro, então o raio vai do raio de um desses cilindros até o outro. As fórmulas dos cilindros são

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 2

Então

r 1 , 2

Já vimos que z vai do cone negativo ao positivo, falta substituir os valores de x e y nessas equações

- x 2 + y 2 z x 2 + y 2

- r cos θ 2 + r sen θ 2 z r cos θ 2 + r sen θ 2

- r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ z r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ

- r 2 cos 2 θ + sen 2 θ z r 2 cos 2 θ + sen 2 θ

- r 2 z r 2

Como r é sempre positivo por definição, teremos

- r z r

Falta achar θ . Repara que o sólido está envolto no eixo z , então demos uma volta completa. Assim

θ 0,2 π

O sólido W vai ser

W = r , θ , z 1 r 2 ; - r z r ; 0 θ 2 π

Passo 4

Vamos agora montar nossa integral

V = 0 2 π 1 2 - r r r d z d r d θ

Resolvendo essa integral temos

V = 0 2 π 1 2 r r - - r d r d θ

V = 0 2 π 1 2 2 r 2 d r d θ

V = 0 2 π 2 r 3 3 1 2 d θ

V = 0 2 π 2 . 2 3 3 - 2 . 1 3 3 d θ

V = 0 2 π 4 2 3 - 2 3 d θ

V = 4 2 3 - 2 3 θ 0 2 π

V = 4 2 3 - 2 3 2 π

V = 4 π 3 2 2 - 1

Resposta

V = 4 π 3 2 2 - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas