Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 952, adaptado.

Determine o volume do sólido E , que está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .

Passo 1

O volume que queremos calcular será dado por E   d x d y d z .

Vamos, então, fazer um esboço da região E para entender melhor o que está sendo pedido:

O paraboloide está virado para baixo porque os termos que multiplicam x 2 e y 2 são negativos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, parece uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Teremos:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo a substituição cilíndrica na equação do cilindro, teremos r = 1 , como já vimos. Temos, então, 0 r 1

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = 1 - x 2 - y 2   z = 1 - r cos θ 2 - r   s e n   θ 2

z = 1 - r 2

Esse é o limite inferior de z , o superior é o plano z = 4 .

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 r 1 ; 0 θ 2 π ;   1 - r 2 z 4 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 1 1 - r 2 4 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π 0 1 r z z = 1 - r 2 z = 4 d r d θ =

= 0 2 π 0 1 3 r + r 3 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= 0 2 π 3 r 2 2 + r 4 4 r = 0 r = 1 d θ =

= 0 2 π 3 2 + 1 4 d θ = 0 2 π 7 4 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 7 θ 4 0 2 π =

Resposta

7 π 2

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