Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2014.2 - 6ª Noturno, Questão 3

Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos plano z = 0 e y + z = 3 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço da região. Temos um cilindro centrado na origem, limitado pelos planos z = 0 e z = 3 - y .

Para desenhar esse segundo plano, basta fazer a reta z = 3 - y no plano y z e “repetí-la” ao longo do eixo x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos um cilindro e dois planos limitando nossa região, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Como temos uma volta completa em torno do eixo z , sabemos que 0 θ 2 π . Pelo próprio gráfico, podemos ver que z varia desde 0 até o plano z = 3 - y , que, em coordenadas cilíndricas, fica:

z = 3 - r s e n   θ

Logo, 0 z 3 - r s e n   θ .

Já o intervalo de r é desde o eixo z , onde r = 0 até a superfície do cilindro, onde r = 2 , o que podemos tirar da equação:

x 2 + y 2 = 4

Então, podemos escrever a região B como:

B = { ( r , θ , z ) | 0 r 2 ; 0 θ 2 π ;   0 z 3 - r   s e n   θ }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 2 0 3 - r   s e n   θ   r   d z   d r   d θ =

Passo 5

Agora vamos integrar isso aí. Primeiro em relação a z :

= 0 2 π 0 2 r z 0 3 - r   s e n   θ d r d θ =

= 0 2 π 0 2 r 3 - r   s e n   θ d r d θ =

= 0 2 π 0 2 3 r - r 2   s e n   θ d r d θ =

Agora em relação a r :

= 0 2 π 3 r 2 2 - r 3 3 s e n   θ 0 2 d θ =

= 0 2 π 6 - 8 3 s e n   θ d θ =

Finalmente, em relação a θ :

= 6 θ + 8 3 cos θ 0 2 π =

= 12 π

Resposta

12 π

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