Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 2, Questão 20

Encontre a massa da região sólida limitada pelas superfícies z = 16 - 2 x 2 - 2 y 2 e z = 2 x 2 + 2 y 2 se a densidade do sólido é ρ x , y , z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos, então, fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que

M = W   ρ x , y , z d V

Como a região é limitada por dois paraboloide, podemos explicitar as curvas de limite de z , então vamos usar coordenadas cilíndricas.

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos ver quando as duas superfícies se cortam

z = 16 - 2 x 2 - 2 y 2

E temos

z = 2 x 2 + 2 y 2

Substituindo isso na primeira equação

2 x 2 + 2 y 2 = 16 - 2 x 2 - 2 y 2

4 x 2 + 4 y 2 = 16

x 2 + y 2 = 4

Trocando os valores de x e y em coordenadas cilíndricas vamos achar

r = 2

Então

0 r 2

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = 2 x 2 + 2 y 2   z = 2 r cos θ 2 + 2 r   s e n   θ 2

z = 2 r 2

Esse é o limite inferior de z .

Vamos substituir na equação do paraboloide com x e y negativos

z = 16 - 2 x 2 - 2 y 2   z = 16 - 2 r cos θ 2 - 2 r   s e n   θ 2

z = 16 - 2 r 2

Esse é o limite superior.

2 r 2 z 16 - 2 r 2

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = r , θ , z 0 r 2 ; 0 θ 2 π ;   2 r 2 z 16 - 2 r 2

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 2 2 r 2 16 - 2 r 2 r r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 d z d r d θ = 0 2 π 0 2 2 r 2 16 - 2 r 2 r r 2 d z d r d θ =

0 2 π 0 2 2 r 2 16 - 2 r 2 r 2 d z d r d θ

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π 0 2 r 2 z z = 2 r 2 z = 16 - 2 r 2 d r d θ =

= 0 2 π 0 2 r 2 16 - 2 r 2 - 2 r 2 d r d θ = 0 2 π 0 2 16 r 2 - 4 r 4 d r d θ

Passo 6

Vamos ter

0 2 π 0 2 16 r 2 - 4 r 4 d r d θ = 0 2 π 16 r 3 3 - 4 r 5 5 r = 0 r = 2 d θ

0 2 π 16 2 3 3 - 4 2 5 5 - 0 d θ = 0 2 π 256 15 d θ = 256 15 2 π - 0 = 512 π 15

Resposta

512 π 15

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