Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2013.2 - 6ª Noturno, Questão 2

Encontre o volume da região sólida limitada abaixo pelo plano z = 0 , lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima pelo paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema. Temos isso aqui:

A região E do problema é a que fica entre o plano e o paraboloide e é limitada lateralmente pelo cilindro. O volume dessa região é dado por:

V = E   d x d y d z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação de cada paraboloide:

z = x 2 + y 2 = r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 = r 2

Então, como z varia entre o plano z = 0 e o paraboloide, podemos escrever 0 z r 2 . Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 θ 2 π .

Agora falta o intervalo de r , que vai desde r = 0 (no eixo z ) até a superfície do cilindro, que tem raio r = 1 . Portanto 0 r 1 .

Assim, a região é a seguinte:

E = r , θ , z 0 θ 2 π ;   0 z r 2 ; 0 r 1  

Passo 3

Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:

V = E   d x d y d z = 0 2 π 0 1 0 r 2 r d z d r d θ

Passo 4

Agora é só resolver isso aí!

= 0 2 π 0 1 z r 0 r 2 d r d θ =

= 0 2 π 0 1 r 3 d r d θ =

= 0 2 π r 4 4 0 1 d θ =

= 1 4 0 2 π d θ =

= π 2

Resposta

π 2

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