Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2017.2, Questão ME8

8) A integral tripla

0 2 π 0 2 0 4 - r r   d z d r d θ

fornece o volume do sólido S , onde

  1. S é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 4 .
  2. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 4
  3. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e z = 2 pela superfície x 2 + y 2 = 4 .
  4. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 2 .
  5. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 2 .

Passo 1

Bem, aqui temos que fazer o contrário que normalmente estamos acostumados: voltar para as coordenas cartesianas e dizer qual é o sólido.

Sabemos só de olhar para a integral

0 2 π 0 2 0 4 - r r   d z d r d θ

Que se trata de coordenas cilindricas, pois tem o d z , e que, além disso...

0 θ 2 π

0 r 2

0 z 4 - r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como se trata de coordenadas cilindricas...

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

e x 2 + y 2 = r 2

Bem, se o r varia de 0 a 2 , significa que o raio máximo é 2 . Como θ dá uma volta completa girando de 0 até 2 π , essas duas coisas juntas indica que estamos dentro do cilindro de raio 2 ...

x 2 + y 2 = 4

Como z ...

0 z 4 - r

Trocando essas incógnitas pelas expressões cartesianas...

0 z 4 - x 2 + y 2

Logo, z está acima do plano z = 0 e abaixo da superfície z = 4 - x 2 + y 2 .

Logo, só podemos estar falando da letra a .

Resposta

a )  

S é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 4

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