Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFPE, Calculo 2, PF - 2017.2, Questão 4

Questão 4: Determine o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = x , inferiormente pelo plano x y e lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Bem, um volume de um sólido S a essa altura do campeonato é dado pra gente como sendo a integral tripla...

V o l = S   1   d V

Veja que então basicamente o que temos que fazer é descrever o sólido S e depois é só integrar mesmo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para descrever o sólido, nada melhor que desenha-lo primeiro só para a gente ter aquela malandragem na hora de descrevê-lo. Como o problema mesmo fala, o sólido está no interior do plano x y com o plano z = x (acima do plano x y )...

Ele delimita a lateral pelo cilindro de raio 3 ...

Veja que o sólido basicamente é esse gomo aqui:

Passo 3

Se estamos trabalhando dentro de um cilindro, nada mais justo que utilizarmos as coordenadas cilíndricas:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

O Jacobiano dessa mudança é...

J = r

Passo 4

Toda vez que terminamos uma mudança, temos que definir onde as variáveis estão variando. Ou seja, necessitamos de descobrir onde θ , r e z variam!

Como θ é o cara que gira a partir do eixo x no sentido anti-horário positivo, vemos que no nosso gomo ele precisa começar 90   ° negativo e girar até 90 ° positivo, completando 180 ° ...

- π 2 θ π 2

O r , varia de 0 até 3 , que é o raio máximo delimitado pelo cilindro...

0 r 3

Quanto ao z ... Bem, sabemos que z varia de 0 até o plano...

0 z x      

Trocando o x pelas coordenadas cilíndricas...

0 z r cos θ

Passo 5

Agora é só voltar para a integral

V o l = S   1   d V

Trocar tudo e arrasar! (Não se esqueça de quando realizar a troca pelas coordenadas cilíndricas, multiplicar a função 1 pelo Jacobiano):

V o l = - π 2 π 2 0 3 0 r cos θ J   d z d r d θ =

- π 2 π 2 0 3 0 r cos θ r   d z d r d θ

Passo 6

Bora calcular a integral de dentro então...

- π 2 π 2 0 3 r 0 r cos θ   d z d r d θ =

- π 2 π 2 0 3 r r cos θ d r d θ =

Então a do meio...

- π 2 π 2 cos θ 0 3 r 2 d r d θ =

- π 2 π 2 cos θ r 3 3 0 3 d θ =

Por fim a última integral nos dará como resultado...

9 - π 2 π 2 cos θ d θ =

9 sin θ - π 2 π 2 = 9 sin π 2 - sin - π 2 =

9 1 - - 1 = 18

Resposta

18

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