Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2017.2, Questão 2

Questão 2:

Seja E a região de R 3 no quadrante z 0 , x 0 , entre as superfícies cujas equações implícitas são x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4 , e abaixo da superfície cuja equação implícita é z + x = 2 .

  1. Faça um esboço de E .
  2. Calcule o volume de E .
  3. Seja F a região de R 3 que é a união de E e a reflexão de E no plano x = 0 , ou seja: F é a região acima da superfície z = 0 , abaixo das superfícies z + x = 2 e z - x = 2 , e entre as superfície s   x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 . Calcule a integral tripla:

F   x d V

Passo 1

a )

Para começarmos esse problema de esboçar E , sempre devemos ir com calma! Veja só, sabemos que estamos na parte onde z 0 e x 0 ...

Outra coisa que sabemos também que estamos dentro de dois cilindros de raio 1 e 2 ...

Veja que estamos construindo um sólido!

A outra superfície que também faz parte é o plano z + x = 2 , um plano paralelo ao eixo y ...

Logo, colocando essas coisas juntas, chagamos ao bom e velho sólido E :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para calcular o volume, o que vamos fazer é calcular uma integral tripla:

V o l E = E   d V

Repare que precisamos para retornar a essa integral e matar item descrever região E , o que vai ser feita com as coordenadas cilíndricas...

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

J = r

Passo 3

Em toda mudança devemos buscar onde os novos caras, no caso r , θ e z , estão variando:

Para a variação de r e θ , olhemos para a projeção desse sólido no plano onde essas duas variáveis variam, ou seja, projeção no plano   x y :

Repare que o raio varia do raio menor até o raio do cilindro maior...

1 r 2

Quanto ao θ , nessa forma de mudança, ele sempre sai do eixo x girando no sentido anti-horário positivo. Como estamos começando 90 ° antes, o θ só pode estar girando de...

- π 2 θ π 2

Para a variação de z , repare no sólido que ele é o cara que varia da base, até o teto. Como a base é o plano z = 0 e o teto, z + x = 2 ...

0 z 2 - x  

0 z 2 - r cos θ

Passo 4

Retornando à integral tripla que queremos resolver...

V o l E = E   d V =

E substituindo não se esquecendo do Jacobiano...

- π 2 π 2 1 2 0 2 - r cos θ J   d z d r d θ =

- π 2 π 2 1 2 0 2 - r cos θ r   d z d r d θ

Resolvendo essa integral de dentro tomando r como constante perante z

- π 2 π 2 1 2 r 0 2 - r cos θ   d z d r d θ = - π 2 π 2 1 2 r 2 - r cos θ d r d θ =

Calculando em r ...

- π 2 π 2 1 2 2 r - r 2 cos θ d r d θ = - π 2 π 2 r 2 - r 3 3 cos θ 1 2 d θ =

- π 2 π 2 2 2 - 2 3 3 cos θ - 1 - 1 3 cos θ d θ = - π 2 π 2 3 - 7 3 cos θ d θ =

E por último em relação a θ , ganhamos...

3 θ - 7 3 sin θ - π 2 π 2 = 3 π 2 - 7 3 sin π 2 - 3 - π 2 - 7 3 sin - π 2 =

3 π 2 + 3 π 2 - 7 3 - 7 3 =

3 π - 14 3

Passo 5

Bem, sabemos que a região F , é a reflexão da E , em torno do plano x = 0 ...

E pretendemos encontrar a solução da integral...

F   x d V

Cara, vou te dar uma ótima notícia. A função f x ,   y ,   z = x , é uma função ímpar em relação ao plano x = 0 . O que isso significa?

Bem, significa que a função assume os mesmos valores do lá do outro lado do quadrante, mas com o sinal contrário. Por exemplo, pegue o ponto x ,   y ,   z , de tal forma que:

Se pegarmos o ponto simétrico a ele do outro lado do plano x = 0 ...

Esse ponto é - x ,   y ,   z . Repare que...

f x ,   y ,   z = x = - f - x ,   y ,   z = - - x

Percebeu? Como a região F de integração é simétrica em relação ao plano x = 0 , nem precisamos calcular a integral tripla, pois já sabemos que seu valor nessas condições será...

F   x d V = 0

Resposta

a )

b )   3 π - 14 3

c )     0

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