Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFPE, Calculo 2, 3º EE - 2012.2, Questão 4

A seção reta do interior de uma taça é descrita pela equação r = sen z , onde z = 0 corresponde ao fundo da taça e z = π / 2 à sua altura

Note: Como a taça tem simetria axial, usamos coordenadas cilíndricas!

(a) Esboce a seção reta e determine sua área;

(b) Determine o volume contido na taça.

Passo 1

Letra (a)

Antes de mais nada vamos tentar entender como é o esboço dessa “taça”, nos eixos cartesianos mesmo.

O enunciado nos deu as informações em coordenadas cilíndricas, certo? Isso aqui

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

A superfície da taça é dada por r = sen z , no intervalo de 0 z π / 2 , ou seja, r vai de:

z = 0 r = sen 0 = 0

z = π 2 r = sen π 2 = 1

Sendo que o raio aumenta conforme a gente aumenta z , deu pra imaginar um pouco do esboço? Ele é esse aqui

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas que tal “seção reta” é essa que o enunciado pede? Como calculo o valor da sua área?

Seção reta nada mais é do que “cortes” dessa taça com plano paralelos ao x y , por exemplo o plano z = π / 4 é esse aqui

Nesse exemplo aí a minha seção reta é um círculo, sabe qual o raio dele?

r = sen z

z = π 4 r = sen π 4 = 2 2

Ou seja, pra cada valor de z vamos ter uma seção reta como um círculo de raio r = sen z , sacou isso?

Então qual a área da seção reta?

Bom, essa área depende do valor de z , percebe que pra cada z vamos ter um raio r diferente!

O importante é perceber que todas as seções retas são círculos! E qual a área de um círculo?

A = π r 2

O nosso raio depende de z , certo? Portanto

A = π sen z 2

A = π sen 2 z

Passo 3

Letra (b)

Pra determinar o volume aqui vamos precisar fazer a integral tripla mesmo, não tem jeito.

V = W 1 d V

Só cuidado com o seguinte, queremos o valor dentro da taça, então queremos qualquer raio dentro de r = sen z , em outras palavras

0 r sen z

Os limites de z são dados no enunciado

0 z π 2

E os limites de θ são

0 θ 2 π

Justamente porque damos a volta completa pra gerar a taça.

Nós não fizemos nenhuma mudança de coordenadas, mas o enunciado sim! Ele nos deu os dados em coordenadas cilíndricas, então não se esqueça do jacobiano:

J = r

Organizando tudo na integral

V = 0 2 π 0 π 2 0 sen z r d r d z d θ

Passo 4

Bom, vamos integrar isso aí então, começando por r

0 2 π 0 π 2 r 2 2 0 sen z d z d θ

= 1 2 0 2 π 0 π 2 sen 2 z d z d θ

Antes de integrar em z , vamos lembrar que

sen 2 z = 1 - cos 2 z 2

Portanto

= 1 2 0 2 π 0 π 2 1 - cos 2 z 2 d z d θ

= 1 4 0 2 π 0 π 2 1 - cos 2 z d z d θ

Agora sim, integrando em z

= 1 4 0 2 π z - sen 2 z 2 0 π 2 d θ

= 1 4 0 2 π π 2 - sen π 2 - 0 - sen 0 d θ

= 1 4 0 2 π π 2 d θ

Por fim, integrando em θ

= π 8 θ 0 2 π = π 2 4

V = π 2 4

Resposta

π 2 4

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