Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFPE, Calculo 2, 3º EE - 2012.2, Questão 5b

Seja T a região do espaço definida pelas desigualdades:

T : 0 x 9 - y 2 ,   0 y 3 ,   0 z 9 - x 2 + y 2

(b) Escreva

T z x 2 + y 2 + z 2 d V

Como uma integral repetida (iterada), sem contudo efetuar os cálculos, usando coordenadas cilíndricas

Passo 1

Pra escrever essa região em coordenadas cilíndrica é bom a gente fazer um esboço.

Vamos olhar primeiro os limites de z , ele vai de 0 até 9 - x 2 + y 2 , mas quem é essa segunda equação aí?

z = 9 - x 2 + y 2

z 2 = 9 - x 2 + y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Como os limite é apenas a raiz positiva, temos a metade superior da esfera de raio 3 .

Olhando os limites de y agora, ele vai de 0 até 9 - x 2

y = 9 - x 2

x 2 + y 2 = 9

Então também se trata da raiz positiva, agora do círculo de raio 3 no plano x y . O esboço fica assim

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, temos que

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos analisar os limites...

Percebemos que z continua a mesma coisa do enunciado, então

0 z 9 - x 2 + y 2

Aplicando a substituição

0 z 9 - r 2

Olhando agora o esboço da projeção no plano x y

Portanto o raio vai de 0 a 3 e o ângulo θ é de apenas um quarto da circunferência

0 r 3

0 θ π 2

Falta só substituir os parâmetros na função dentro da integral

z x 2 + y 2 + z 2

= z r 2 + z 2

Juntando tudo isso na integral (não se esqueça do jacobiano J = r )

0 π / 2 0 3 0 9 - r 2 z r 2 + z 2 r d z d r d θ

Resposta

0 π / 2 0 3 0 9 - r 2 z r 2 + z 2 r d z d r d θ

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