Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2014.1, Questão 3

Seja = x , y , z R 3 : x 2 + y 2 1,0 z y

  1. Represente graficamente o conjunto
  2. Usando coordenadas cilíndricas, calcule

z d x d y d z

Passo 1

a )

Vamos começar esboçando a região

Se liga que x 2 + y 2 = 1 é um cilindro, enquanto z = 0 é o plano x y e z = y é um plano inclinado que contem o eixo x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Ele disse para usarmos coordenadas cilíndricas então, adivinha, vamos usá-las rs, faremos

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

O valor de z já está bem explicito pela região que ele deu

0 z y

Substituindo a coordena cilíndrica

0 z r   s e n   θ

Como só estamos pegando a parte positiva de y , sabemos que θ varia de 0 a π , ou seja só a metade de cima da circunferência.

Agora precisamos descobrir o intervalo de r . Pelo próprio gráfico, vemos que r 0 , mas qual o seu valor máximo? O outro limite ocorre no cilindro, onde temos a maior circunferência da região, então, vamos substituir esse valor na sua equação:

1 = x 2 + y 2   1 = r cos θ 2 + r   s e n   θ 2

r = 1

A região pode, então, ser escrita como:

= { ( r , θ , z ) | 0 θ π ; 0 r 1 ; 0 z r   s e n   θ }

Passo 4

Vamos para a integral

z d x d y d z

Usando as coordenadas polares vamos ter

z d x d y d z = 0 π 0 1 0 r sen θ z r d z d r d θ = 0 π 0 1 z 2 2 z = 0 r sen θ r d r d θ =

0 π 0 1 r 2 sen 2 θ 2 r d r d θ = 0 π 0 1 r 3 sen 2 θ 2 d r d θ = 0 π r 4 4 r = 0 1 sen 2 θ 2 d θ

0 π 1 4 sen 2 θ 2 d θ = 1 8 0 π sen 2 θ d θ

Lembrando que

sen 2 θ = 1 - cos 2 θ 2

A integral vai ficar

1 8 0 π sen 2 θ d θ = 1 8 0 π 1 - cos 2 θ 2 d θ = 1 8 θ - sen 2 θ 2 2 θ = 0 π = 1 8 θ 2 - sen 2 θ 4 θ = 0 π

1 8 π 2 - sen 2 π 4 - 0 2 - sen 2.0 4 = 1 8 π 2 - 0 - 0 = π 16

Resposta

  1. π 16

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