Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

USP, Cálculo 3, P1 - 2019, Questão 6

Seja B o sólido determinado pelas determinado pelas desigualdades x 2 + y 2 + z 2 18 ,   z x 2 + y 2   e   z 0 ,   f uma unção contínua em R 3 e   V = B f x , y , z   d x   d y   d z . Considere as seguintes afirmações

V = 0 2 π 0 3 2 0 r f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d z   d r   d θ

V = 0 2 π 0 3 2 0 18 - r 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d z   d r   d θ

V = 0 2 π 0 3 z 18 - z 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d r   d z   d θ

A(s) afirmação(ões) verdadeira(s) para toda função f como acima é(são):

Passo 1

É bom começarmos entendendo a regição que vamos descrever, certo?

Bom, pra começar vamos aplicar as mudanças propostas pelo próprio enunciado, quando entre todas as opções, ele mostra f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z , beleza?

Então começamos com:

x 2 + y 2 + z 2 18

z 2 + r 2 cos 2 θ + s e n 2 θ 18

z 2 + r 2 18

r 2 18 - z 2

r 18 - z 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A segunda substituição a ser feita será:

z x 2 + y 2

z r 2 cos 2 θ + s e n 2 θ

z r

Logo

z r 18 - z 2

Passo 3

Agora substituindo a segunda equação na primeira:

x 2 + y 2 + z 2 18  

z x 2 + y 2 z 2 = x 2 + y 2

z 2 + z 2 18

2 z 2 18

z 2 9

z 3

Lembrando que o enunciado já nos fala que

z 0

Com isso já temos todos nossos intervalos, uma vez que pela imagem você consegue ver que na região que estamos trabalhando (abaixo da esfera e do cone) estamos dando uma volta completa. Logo:

0 θ 2 π

Ficamos então com essa integral!

V = 0 2 π 0 3 z 18 - z 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d r   d z   d θ

Resposta

V = 0 2 π 0 3 z 18 - z 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d r   d z   d θ

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