Seja W ⊂ R 3 o sólido que resulta da interseção das regiões 9 x 2 + 4 y 2 ≤ 36 , 3 3 2 x ≤ y , x ≥ 0 , z ≥ 0 e z ≤ y + 1 , calcular o volume de W .

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Essa região é um pouco confusa mesmo, vamos por partes.

Temos um cilindro de base elíptica dado por 9 x 2 + 4 y 2 = 36 (em azul).

O plano vertical x = 0 está representado em cinza.

A equação 3 3 2 x = y representa no plano x y uma reta, certo? No R 3 ela independe de z , então temos essa reta ao longo de z , gerando um plano vertical. Como o coeficiente angular 3 3 2 é positivo, essa reta corta o 1 º e o 3 º quadrante. A parte que vai nos interessar é onde x , y > 0 , como na figura.

O plano z = 0 limita a região por baixo, é fácil visualizar. Falta, agora, o plano z = y + 1 , representado em verde. Podemos interpretá-lo como a reta z = y + 1 do plano y z repetida ao longo de eixo x .

Essa é a região vista de cima, para você entender melhor:

Passo 2

Agora precisamos escrever matematicamente essa região W . Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e é limitado lateralmente por um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas. O cilindro é este aqui

9 x 2 + 4 y 2 = 36

x 2 4 + y 2 9 = 1

Por isso faremos:

x = 2 r cos ⁡ θ

y = 3 r sen ⁡ θ

z = z

J = 6 r

Perceba que o cilindro possui base elíptica! Por isso adicionamos esses coeficientes 2 e 3 na substituição.

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Pela própria definição das coordenadas cilíndricas, a equação do cilindro se transformará em r = 1 , então, teremos 0 ≤ r ≤ 1 para intervalo de r .

Pelo gráfico, vemos que os valores de θ variam desde o plano 3 3 2 x = y até o plano x = 0 , o que nos dá ( â n g u l o ) ≤ θ ≤ π / 2 , certo? Vamos, então, fazer a substituição cilíndrica na equação desse plano pra descobrir o outro valor de θ :

3 3 2 2 r cos ⁡ θ = 3 r   sen ⁡ θ

3 cos ⁡ θ = sen ⁡ θ   → tg ⁡ θ = 3   →   θ = π / 3

Temos, então, π / 3 ≤ θ ≤ π / 2 . Agora só falta o intervalo de z . Veja que o sólido está limitado embaixo pelo plano z = 0 e em cima pelo plano inclinado z = y + 1 (por isso é muito importante que você entenda a região de integração). Vamos, então, fazer a mudança de variáveis nesse plano:

z = 3 r   sen ⁡ θ + 1

Temos, então 0 ≤ z ≤ 3 r sen ⁡ θ + 1 . Assim, nossa região de integração será escrita como:

W = { ( r , θ , z ) | π / 3 ≤ θ ≤ π / 2 ; 0 ≤ r ≤ 1 ;   0 ≤ z ≤ 3 r   sen ⁡ θ + 1   }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 1 ∫ 0 3 r   sen ⁡ θ + 1   6 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 1 6 r z z = 0 z = 3 r   sen ⁡ θ + 1 d r d θ =

= ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 1 6 r ( 3 r   sen ⁡ θ + 1 ) d r d θ =

= ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 1 18 r 2   sen ⁡ θ + 6 r   d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ π / 3 π / 2 18 r 3 3 sen ⁡ θ + 6 r 2 2 r = 0 r = 1 d θ =

= ∫ π / 3 π / 2 6 sen ⁡ θ + 3 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= - 6 cos ⁡ θ + 3 θ π / 3 π / 2 =

= 0 + 3 π 2 - - 6 × 1 2 + 3 π 3 =

Resposta

π 2 + 3

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )