Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

USP, Cálculo 3, P1 - 2019, Questão 8

O volume do sólido determinado pelas desigualdades x 2 + y 2 2 x ,   0 z y   e   y 0 é:

Passo 1

Pra comerçarmos é sempre interessante termos em mente o sólido que estamos trabalhando.

Vou trazer ainda a vista superior, que vai ser importante pra melhorar sua visualização.

Pelas equações dadas no enunciado, notamos que o melhor a se fazer seria usarmos coordenadas cilíndricas, tranquilo? Onde ficamos com

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ

z = z

J = r

Substituindo esses valores na primeira função ficamos com:

x 2 + y 2 2 x

r 2 cos 2 θ + r 2   s e n θ 2 r c o s θ

r 2 ( cos 2 + s e n 2 ) 2 r c o s θ

r 2 2 r   c o s θ  

r 2   c o s θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo agora na segunda equação ficamos com:

0 z y

0 z r   s e n θ

Passo 3

Para avaiarmos a variação do θ é importante voltarmos ao gráfico. Note que o θ sempre parte do eixo x positivo, tudo bem?

Como no nosso sólido, y sempre é maior que zero, e pela vista superior notamos que o cilindro está deslocado para o eixo x positivo, nosso θ fica variando apenas entre zero e π 2 .

Passo 4

Montando e resolvendo a integral ficamos com (sem esquecer o jacobiano):

0 π 2 0 2 c o s θ 0 r   s e n θ r   d z   d r   d θ  

0 π 2 0 2 c o s θ r 2 s e n θ   d r   d z   d θ

r 3 3 s e n θ | 0 2 c o s θ

0 π 2 8 3 cos 3 θ   s e n θ d θ

u = c o s θ d u = - s e n θ d θ d θ = - d u s e n θ

- 8 3 u 3 d u

= - u 4 4 8 3 = c o s θ - 2 3 | 0 π 2

= 2 3

Resposta

2 3

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