Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 2b

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R 3 , interseção das superfícies dadas por:
  1. x 2 + y 2 + z 2 = R 2 e x 2 + y 2 = R 2 4 , R > 0 , situada no primeiro octante.

Passo 1

Bem, será de grande ajuda se você sempre começar parametrizações assim, desenhando essa curva no espaço.

Mas calma, pois basta colocar essas superfícies juntas no R 3 que você verá a curva na intercessão delas! Veja:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 é uma esfera de raio R e x 2 + y 2 = R 2 4 é um cilindro de raio R 2 ...

E eis a curva como intercessão delas e no primeiro octante!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos em cima de um cilindro, podemos pensar na parametrização cilíndrica (semelhante às mudanças para coordenadas cilindricas ;)

x = R a i o   d o   c i l i n d r o cos t

y = R a i o   d o   c i l i n d r o sin t

Como o raio do cilindro é R 2 ...

x = R 2 cos t

y = R 2 sin t

Quanto ao z , bem repare que ele é dado pela intercessão do cilindro com a esfera. Fazer isso em matemática é resolver o sistema com as duas equações:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 x 2 + y 2 = R 2 4        

R 2 4 + z 2 = R 2    

z 2 = R 2 - R 2 4    

z 2 = 3 R 2 4    

z = ± 3 R 2 4

Como estamos trabalhando no primeiro octante...

z = R 3 2

Logo:

r t = R 2 cos t ,   R 2 sin t ,   R 3 2

Passo 3

Agora se lembre: nunca devemos terminar uma parametrização sem encontrar onde esse parâmetro t está variando, ok?

Nesse caso, como pode ser notado no desenho, só queremos o pedaço de curva que está acima no primeiro octante, então com t dando um quarto de volta:

0 t π 2

Resposta

b )   r t = R 2 cos t ,   R 2 sin t ,   R 3 2 ,     0 t π 2

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