Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∮ C x   y   d x + x ² d y , C é o retângulo com vértices (0, 0) , (3, 0) , (3, 1) e (0, 1) por dois métodos:

  1. diretamente;

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a integral de linha dada sobre um retângulo com vértices nos pontos (0,0), (3,0), (3,1) e (0,1). Primeiro, vamos definir 4 curvas parametrizadas que descrevam as arestas do retângulo.

r 1 ( t ) = ( t , 0 ) ,   0 ≤ t ≤ 3

r 2 ( t ) = ( 3 , t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

r 3 ( t ) = ( 3 - t , 1 ) ,   0 ≤ t ≤ 3

r 4 ( t ) = ( 0,1 - t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

Se seguirmos as curvas r 1 ,   r 2 ,   r 3   e   r 4 nessa ordem, daremos uma volta no sentido anti-horário ao redor do retângulo, partindo da origem e retornando para a origem. Para calcular a integral de linha sobre o retângulo fechado, precisamos calcular sobre cada segmento de reta do retângulo. Vale notar que, nos trechos r 1   e   r 3 , onde só nos movemos em x:

d y = 0

Semelhantemente, nos trechos r 2   e   r 4 , só nos movemos ao longo de y, e portanto dx = 0, nesses trechos. Então, sabendo disso, vamos calcular a nossa integral!

Passo 2

Primeiro, vamos começar com a integral sobre r 1 . Nesse trecho, a variação em y é zero, portanto, temos que a integral é

∫ r 1 x   y   d x

Como parametrizamos essa curva como r 1 ( t ) = ( t , 0 ) ,   0 ≤ t ≤ 3 , podemos escrever dx como

d x = d r d t d t = 1 ⋅ d t

Então, como sobre esse caminho os pontos são da forma (t,0) ,podemos escrever a integral como

∫ r 1 x   y   d x = ∫ 0 3 t   ⋅ 0 ⋅ 1 ⋅   d t = 0

Para o segundo trecho, descrito por r 2 , o oposto ocorre: não há variação em x, apenas em y, portanto dx = 0 sobre esse trecho. Com a parametrização feita, podemos escrever dy como

d y = d y d t d t = 1 ⋅ d t

Então, como sobre essa curva os pontos são da forma (3, t), podemos escrever esse trecho da integral como

∫ r 2 x   ²   d y = ∫ 0 1 ( 3 ) ²   d t = 9 t = 9

Para o terceiro trecho, descrito por r 3 , temos novamente que a variação em y é nula: dy = 0. Com a parametrização feita, podemos escrever dx como

d x = d x d t d t = d d t ( 3 - t ) = - d t

Então, como sobre essa curva os pontos são da forma (3 - t, 1), podemos escrever esse trecho da integral como

∫ r 3 x   y   d x = - ∫ 0 3 ( 3 - t ) ⋅ 1   ⋅ d t = - 3 t + t ² 2 = - 9 + 9 2 = - 9 2

E, por último, temos o trecho descrito por r 4 , onde x não varia: dx = 0. Com a parametrização escolhida, escrevemos dy como

d y = d y d t d t = d d t ( 1 - t ) = - d t

Como os pontos sobre esse trecho são da forma (0, 1 - t), podemos escrever a integral na forma

∫ r 4 x   ²   d y = ∫ 0 1 ( 0 ) ²   d t = 0

Então, a integral de linha para o caminho completo, r 1 ,   r 2 ,   r 3   e   r 4 , é simplesmente a soma dos resultados individuais:

∮ C x   y   d x + x ² d y = 0 + 9 - 9 2 + 0 = 9 2

Resposta

∮ C x   y   d x + x ² d y = 9 2

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