Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Elaboração Própria

Encontre a parametrização da curva C dada equação

4 x 2 + y 2 = 4

Respeitando a inequação x y 0

Passo 1

Vamos lá galera, essa curva aí é uma daquelas clássicas dada na teoria, lembra? Quando falamos de elipse e circunferência sempre temos x 2 e y 2 se somando, essa fórmula aqui

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Nesse nosso caso não está igual a 1 , né? Mas isso não é problema, é só dividir por 4 dos dois lados, fica assim

x 2 + y 2 4 = 1

O esboço é esse aqui

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra parametrizar isso aí a gente usa a relação fundamental da trigonometria

cos 2 t x 2 + sen 2 t y 2 4 = 1

x 2 = cos 2 t

y 2 = 4 sen 2 t

x = cos t

y = 2 sen t

0 t 2 π

Passo 3

Teoricamente essa seria a nossa resposta, só que a questão bota uma outra limitação ali, ela diz que

x y 0

Ué, mas o que isso quer dizer? Pensa o seguinte, na elipse completa os limites de x e y são

- 1 x 1

- 2 y 2

Existem pontos em que o produto de   x por y não dá positivo (maior que zero). Po, então como podemos garantir que x y de fato é positivo?

Bom, vamos ter que fazer um estudo de sinal aqui, pensa só, quando x é positivo e y é positivo, o produto também vai ser positivo! Agora, quando um é positivo e o outro negativo, o produto dá negativo. De forma geral é isso aqui

Então, para que x y 0 , precisamos que x e y sejam positivos ou que ambos sejam negativos. E quando isso acontece? O plano x y é dividido em quatro quadrantes, vamos analisar cada um deles separadamente aqui

No 1º quadrante temos que 0 t π 2 , nessa região x e y são positivos, então o produto x y também é maior que zero

No 2º quadrante temos que π 2 t π , aqui x é negativo e y é positivo, então o produto x y é menor que zero

No 3º quadrante temos que π t 3 π 2 , nessa região x e y são negativos, então o produto x y é maior que zero

No 4º quadrante temos que 3 π 2 t 2 π , nessa região x é positivo e y é negativo, então o produto x y é menor que zero

Portanto, somente no primeiro e no terceiro quadrante temos x y 0 , portanto os limites de t são

t = 0 , π 2 π , 3 π 2

Resposta

x = cos t

y = 2 sen t

t = 0 , π 2 π , 3 π 2

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