Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 2e

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R 3 , interseção das superfícies dadas por:
  1. x 2 + y 2 + z 2 = 8 - 2 x + y ,         z 0               e               x + y = 2

Passo 1

Bem, será de grande ajuda se você sempre começar parametrizações assim, desenhando essa curva no espaço.

Mas calma, pois basta colocar essas superfícies juntas no R 3 que você verá a curva na intercessão delas! Veja:

x 2 + y 2 + z 2 = 8 - 2 x + y é uma esfera, quer ver?!

x 2 + y 2 + z 2 = 8 - 2 x - 2 y        

x 2 + 2 x + y 2 + 2 y + z 2 = 8        

completando quadrado

x + 1 2 - 1 + y + 1 2 - 1 + z 2 = 8

x + 1 2 + y + 1 2 + z 2 = 10

Viu só? É uma esfera de raio 10 e centrada em - 1 ,   - 1 , 0 :

Cortando esse pedaço de esfera com o plano x + y = 2 que é um plano paralelo ao eixo z ...

E eis a curva como intercessão delas acima do z 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pow! Observe que a curva é a intercessão do plano com a esfera deslocada, então nada mais justo que realizar essa intercessão na matemática também, concorda?

Fazer isso é resolver o sistema com as duas equações:

x 2 + y 2 + z 2 = 8 - 2 x + y x + y = 2        

Isolando y na de baixo e substituindo na primeira...

y = 2 - x                   x 2 + 2 - x 2 + z 2 = 8 - 2 2

então...

x 2 + 4 - 4 x + x 2 + z 2 = 4      

2 x 2 - 4 x + z 2 = 0

Essa equação representa uma elipse, mas precisamos dela na sua forma geral x 2 a 2 + z 2 b 2 = 1 . Para isso, dividimos todo mundo por 2 ...

x 2 - 2 x + z 2 2 = 0  

Completando quadrado...

x - 1 2 - 1 + z 2 2 = 0    

x - 1 2 1 2 + z 2 2 2 = 1

Passo 3

A parametrização de elipses centrada na origem sempre será:

x = a cos θ

z = b sin θ

como a nossa curva está fora da origem e sim centrada no ponto 1 ,   0 , a parametrização fica

x = 1 + a cos θ

z = b sin θ

a = 1 e b = 2 . Assim, uma parametrização é:

x = 1 + cos θ

z = 2 sin θ

Quanto ao y ... Bem, já vimos que ele é y = 2 - x , logo

y = 2 - 1 + cos θ =

1 - cos θ

E a parametrização final fica sendo...

r t = 1 + cos θ ,   1 - cos θ ,   2 sin θ

Passo 4

Agora se lembre: nunca devemos terminar uma parametrização sem encontrar onde esse parâmetro t está variando, ok?

Nesse caso, como pode ser notado no desenho, estamos no primeiro octante, onde vemos que t dá uma meia volta:

0 t π

Resposta

e )   r t = 1 + cos θ ,   1 - cos θ ,   2 sin θ ,     0 t π

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