Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Elaboração Própria

Parametrize a curva dada pela interseção das superfícies

x 2 + y 2 + z 2 = 4

z = x 2 + y - 1 2

Passo 1

Vamos começar com um esboço dessas superfícies que são um pouco diferentes, né? A primeira é uma esfera de raio 2 e a segunda é a parte superior de um cone deslocado no eixo y . Desenhando fica muito mais fácil de entender, olha só:

Bom, agora precisamos só analisar as equações e encontrar alguma forma de escrever todas as nossas variáveis em função de um único parâmetro. As equações são essas aqui

x 2 + y 2 + z 2 = 4

z = x 2 + y - 1 2

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Passo 2

Nesse exercício aqui a gente não tem nenhuma equação facilmente parametrizada direto, né? Vamos ter que tentar juntar as duas retirando alguma variável. Ué, como assim? Dá uma olhada aqui, vou mexer um pouco nessa segunda equação

z = x 2 + y - 1 2

z 2 = x 2 + y - 1 2

Agora vamos substituir esse z 2 na primeira equação lá da esfera!

x 2 + y 2 + z 2 = 4

x 2 + y 2 + x 2 + y - 1 2 = 4

Passo 3

Po, mas assim a gente não consegue visualizar absolutamente nada! Vamos reorganizar essa equação tentando encontrar aquela relação fundamental, lembra? Essa aqui

cos 2 t + sen 2 t = 1

Vamos lá então

x 2 + y 2 + x 2 + y - 1 2 = 4

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 - 2 y + 1 = 4  

2 x 2 + 2 y 2 - 2 y = 3

2 x 2 + 2 y 2 - y = 3

Po, pra transformas esse termo y 2 - y em algo do tipo y - a 2 , vamos descobrir quem vai ser esse a , então

y - a 2 = y 2 - 2 a y + a 2

- 2 a y = - y

a = 1 2

a 2 = 1 4

Reescrevendo a equação lá em cima

2 x 2 + 2 y 2 - y + 1 4 y - 1 2 2 - 1 4 = 3

2 x 2 + 2 y - 1 2 2 - 1 2 = 3

2 x 2 + 2 y - 1 2 2 = 7 2

Quase tudo pronto, agora só falta deixar o termo 1 ali na direita, fica assim

4 7 x 2 + 4 7 y - 1 2 2 = 1

Passo 4

Agora podemos igualar isso à relação cos 2 t + sen 2 t = 1 , com isso

4 x 2 7 = cos 2 t

2 x 7 = cos t

x = 7 2 cos t

Agora para achar a parametrização de y

4 7 y - 1 2 2 = sen 2 t

2 y - 1 2 7 = sen t

y = 7 2 sen t + 1 2

0 t 2 π

Passo 5

Pronto, já temos x e y , agora é só substituir em alguma equação pra achar z . A segunda já temos z isolado, vamos substituir lá mesmo

z = x 2 + y - 1 2

z = 7 2 cos t 2 + 7 2 sen t + 1 2 - 1 2

z = 7 4 cos 2 t + 7 2 sen t - 1 2 2

z = 7 4 cos 2 t + 7 4 sen 2 t 7 4 - 7 2 sen t + 1 4

z t = 2 - 7 2 sen t

Ficou bizarro mas é isso! Pra finalizar vamos colocar tudo junto

x ( t ) = 7 2 cos t

y t = 7 2 sen t + 1 2

z t = 2 - 7 2 sen t

0 t 2 π

Resposta

x ( t ) = 7 2 cos t

y t = 7 2 sen t + 1 2

z t = 2 - 7 2 sen t

0 t 2 π

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