Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule

∫ r 3 x z   d x   +   4 y z   d y   +   2 x y   d z ,

do ponto A = ( 0 ,   0 ,   0 )   a o   p o n t o   B = ( 1 ,   1 ,   2 ) , ao longo dos caminhos:

(a) segmento de reta   A B ;

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular a integral

∫ r 3 x z   d x   +   4 y z   d y   +   2 x y   d z ,

do ponto A = ( 0 ,   0 ,   0 )   a o   p o n t o   B = ( 1 ,   1 ,   2 ) , ao longo do segmento de reta   A B

Como fazemos isso? É bem simples, primeiro pegamos a nossa parametrização da curva, e usamos ela para podermos calcular d x   e   d y em função da parametrização escolhida. Depois substituímos na integral e pronto.

Mas nesse caso, compensa desmembrar a nossa curva em três segmentos de retas. Sendo eles

Então vamos nessa!!!

Passo 2

Quem é a nossa r ? É o segmento de reta   A B , com A = ( 0 ,   0 ,   0 )   e   B = ( 1 ,   1 ,   2 )

Que parametrizado vira

( t , t , 2 t )   c o m   0 ≤ t ≤ 1

Bem, da parametrização temos

x = t

y = t

z = 2 t

⇒ d x   =   1   d t

d y = 1

d z = 2

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ r 3 x z   d x   +   4 y z   d y   +   2 x y   d z ,

fazendo as substituições,

  ∫ r 3 x z   d x   +   4 y z   d y   +   2 x y   d z , =   ∫ 0 1   6 t 2   +   8 t 2   +   4 t 2 d t ,

= ∫ 0 1 18 t 2

Integramos, obtemos

= 6

Logo,

∫ r 3 x z   d x   +   4 y z   d y   +   2 x y   d z = 6

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

6

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