Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Ver Teoria

Enunciado

Calcule as seguintes integrais triplas:

b)

∭ x y sin ⁡ y z d x   d y   d z

Em que T é a região delimitada por 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ π 6 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral tripla da regi��o T :

∭ x y sin ⁡ y z d x   d y   d z

Em que T é a região delimitada por 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ π 6 .

Assim, através dessas delimitações dadas, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 ∫ 0 π x y sin ⁡ y z d x   d y   d z

Agora já podemos resolver a integral!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Assim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar... mas vamos primeiros começar com a integral que está mais interna:

∫ 0 π x y sin ⁡ y z d x ∴

Colocando as constantes para fora, temos:

y sin ⁡ y z ∫ 0 π x d x ∴

Aplicando a regra da potência, temos:

y sin ⁡ y z x 2 2 π 0 ∴

y sin ⁡ y z * π 2 2

Dessa forma, nos resta a seguinte integral dupla:

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 y sin ⁡ y z * π 2 2 d y   d z

Passo 3

Para ficar mais simples a nossa vida, vamos inverter a ordem das integrais:

∫ 0 1 ∫ 0 π 6 y sin ⁡ y z * π 2 2 d z   d y

Vamos resolver novamente a integral mais interna:

∫ 0 π 6 y sin ⁡ y z * π 2 2 d z

Colocando a constante para fora:

y π 2 2 ∫ 0 π 6 sin ⁡ y z d z

Fazendo u = y z ∴ d u = y d z , podemos fazer a integral por substituição:

y π 2 2 ∫ 0 π 6 sin ⁡ u y d u

Removendo a constante para fora e simplificando, temos:

π 2 2 ∫ 0 π 6 sin ⁡ u d u

Resolvendo a integral do seno, temos:

π 2 2 1 - cos ⁡ π y 6

Dessa forma, nos resta a integral:

∫ 0 1 π 2 2 1 - cos ⁡ π y 6   d y

Passo 4

Colocando a constante para fora, temos:

π 2 2 ∫ 0 1 1 - cos ⁡ π y 6   d y ∴

π 2 2 ∫ 0 1 1   d y - ∫ 0 1 cos ⁡ π y 6   d y ∴

Fazendo u = π y 6 ∴ d u = π 6 d y , podemos fazer a integral por substituição:

π 2 2 y 1 0 - 6 π ∫ 0 1 cos ⁡ u   d u ∴

π 2 2 1 - 6 π sin ⁡ π y 6 1 0 ∴

π 2 - 3 π 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

π 2 - 3 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Como se calcula a área de uma superfície parametrizada no espa-ço? E de uma superfície implicitamente definida F(x, y, z) = 0?E da superfície que é o gráfico de z = ƒ(x, y)? Dê exemplos
Calcule 1C F ∙ T ds para o campo vetorial F = x2i – yj ao longoda curva x = y2 de (4, 2) a (1, –1).
Calcule int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de ( - 1,1 ) a ( 2,4 )
O que são integrais de linha? Como elas são calculadas? Dêexemplos
Calcule as integrais nos Exercícios 9 e 10.10. ∫ y 2d x + x 2d x C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .