Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Determine o trabalho realizado pela força F → ( x ,   y ,   z ) = x 2 y ,   x y para deslocar uma partícula ao longo do segmento de reta que une o ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 4,2 ) .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o trabalho realizado pelo seguinte vetor de força:

F → ( x ,   y ,   z ) = ( x 2 y ,   x y )

Que desloca uma partícula ao longo do segmento de reta que une o ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 4,2 ) .

Para determinar o trabalho realizado pela força F → , podemos usar a fórmula do trabalho W para uma força vetorial:

W = ∫ F → ∙ d r → C

onde F é a força e d r é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho C .

Agora temos que parametrizar nosso caminho C e aplicar na integral.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, como nosso caminho é um segmento de reta, então podemos parametrizar o caminho usando um parâmetro t que varia de 0 a 1 . Podemos escolher a seguinte parametrização:

x = 4 t

y = 2 t

Então, podemos calcular o vetor deslocamento d r em termos de d t :

d x = 4 d t

d y = 2 d t

Substituindo na fórmula do trabalho, temos:

W = ∫ 0 1 x 2 y ,   x y ∙ d x , d y ∴

W = ∫ 0 1 4 2 t 2 2 t ,   4 t 2 t ∙ 4 d t ,   2 d t ∴

W = ∫ 0 1 128 t 3 + 16 t 2 d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral, temos:

W = ∫ 0 1 128 t 3 + 16 t 2 d t ∴

W = 32 t 4 + 16 3 t 3 1 0 ∴

W = 32 + 16 3 ∴

W = 128 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

W = 128 3

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