Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

e)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar do resultado da seguinte integral de linha:

∫ x y   d s

Lembrando que seu caminho γ é dado por:

x = t

y = t

Onde 0 ≤ t ≤ 1 .

Para resolver esse problema temos que parametrizar a curva γ em termos de t e depois aplicar na integral.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, parametrizando a curva, temos:

x = t

y = t

Onde t está no intervalo 0,1 .

Agora, vamos calcular as diferenciais d x e d y e termos de d t :

d x = d t

d y = d t

Nesse sentido, vamos calcular o elemento de comprimento d s em termos de d x e d y :

d s = d x 2 + d y 2 ∴

d s = d t 2 + d t 2 ∴

d s = 2 d t

Assim, substituindo as expressões para d s ,   x e y na integral de linha, temos:

∫ x y   d s = ∫ 0 1 t t 2 d t ∴

∫ x y   d s = ∫ 0 1 2 t 2 d t

Passo 3

Por fim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

∫ 0 1 2 t 2 d t =

= 2 t 3 3 1 0 ∴

= 2 1 3 ∴

= 2 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 2 3

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