Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Questão 4. Seja S a superfície dada pela parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 , calota esférica, que está acima do plano z = 2 . Considere a função f x , y , z = y 2 definida em uma região de R 3 que contém S .

(a) Parametrize a superfície S

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema nosso objetivo é parametrizar a superfície S que é dada pela parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 onde z ≥ 2 .

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

Nesse caso, como já foi dito que a superfície S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 onde z ≥ 2 , ou seja, é uma calota esférica, não precisamos inventar a roda... podemos usar a parametrização por coordenadas esférica.

Nessa parametrização, chamamos x = ρ sin ⁡ ( ϕ ) cos ⁡ θ , y = ρ sin ⁡ ( ϕ ) sin ⁡ θ e z = ρ cos ⁡ ( ϕ ) .

Lembra disso? 😁

Passo 2

Parametrizando a superfície S em função de ρ , ϕ e θ , vamos obter

S ρ , ϕ , θ = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ

A variável ρ é relacionada ao raio da esfera e como vemos na equação da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 vemos que ρ = 16 = 4 .

S ρ , ϕ , θ = 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ ϕ

A variável ϕ relaciona o ângulo que a superfície faz com o semieixo positivo de z .

Esboçando uma seção da superfície S , temos

Quando y = 2 , temos ρ = 4 e θ = π 2 para obter o valor máximo

y = ρ sin ⁡ ( ϕ ) sin ⁡ θ

2 = 4 sin ⁡ ( ϕ ) sin ⁡ π 2

sin ⁡ ( ϕ ) = 1 2 → ϕ = π 6

Com isso podemos descobrir que ϕ varia de 0 a π / 6 .

Entendeu essa parte? 😐

Passo 3

Por último, temos que obter θ e como θ é o ângulo que a projeção da superfície no plano x y faz com o semieixo positivo de x , temos que θ varia de 0 a 2 π .

Portanto, podemos definir a parametrização da superfície S como

S ρ , ϕ , θ = 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ �� ,     0 ≤ ϕ ≤ π 6 0 ≤ θ ≤ 2 π

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

S ρ , ϕ , θ = 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ ϕ ,     0 ≤ ϕ ≤ π 6 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

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