Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule ∫ x + y d s , em que C é o retângulo formado por x = 0 ,   x = 4 ,   y = - 1 ,   y = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar do resultado da seguinte integral de linha:

∫ x + y d s

Lembrando que seu caminho C é um retângulo formado por:

x = 0

x = 4

y = - 1

y = 1

Para resolver esse problema, podemos dividir a integral em quatro segmentos correspondentes aos lados do retângulo e calcular cada um separadamente.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, vamos começar com o segmento do lado esquerdo do retângulo, onde x = 0 e y varia de - 1 a 1 . Nessa parte, a integral será:

∫ - 1 1 0 + y   d s

Como x = 0 , então d s = d y . Logo:

∫ - 1 1 0 + y   d y

Resolvendo a integral, temos:

∫ - 1 1 y   d y ∴

= y 2 2 1 - 1 ∴

= 1

Passo 3

Agora, para o segmento do lado direito do retângulo, onde x = 4 e y varia de - 1 a 1 . Nessa parte, a integral será:

∫ - 1 1 4 + y   d s

Como x = 4 , então d s = d y . Logo:

∫ - 1 1 4 + y   d y

Resolvendo a integral, temos:

∫ - 1 1 4 + y   d y

= 4 y + y 2 2 1 - 1 ∴

= 9

Passo 4

Agora, para o segmento do lado inferior do retângulo, onde y = - 1 e x varia de 0 a 4 . Nessa parte, a integral será:

∫ 0 4 x + - 1   d s

Como y = - 1 , então d s = d x . Logo:

∫ 0 4 x + 1   d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ 0 4 x + 1   d x

= x 2 2 + x 4 0 ∴

= 12

Passo 5

Porfim, para o segmento do lado inferior do retângulo, onde y = 1 e x varia de 0 a 4 . Nessa parte, a integral será:

∫ 0 4 x + 1   d s

Como y = 1 , então d s = d x . Logo:

∫ 0 4 x + 1   d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ 0 4 x + 1   d x

= x 2 2 + x 4 0 ∴

= 12

Assim, somando todas as integrais calculadas, temos:

1 + 9 + 12 + 12 = 34

Que é o resultado da nossa integral do enunciado.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 34

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