Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(g) ∫ C y d x + 2 x d y ; γ é o triangulo de vértices 0,0 , 1,0 e 1,1 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ C y d x + 2 x d y ao longo do triangulo de vértices 0,0 , 1,0 e 1,1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Esboçando os pontos de vértices e esboçando o triangulo, temos

Calculando a área dessa região, temos

A = b h 2

Em que b é o comprimento da base b = 0 e h é a altura h = 1

A = 1 · 1 2 = 1 2

Agora calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = y e Q = 2 x .

∂ Q ∂ x = ∂ 2 x ∂ x = 2

∂ P ∂ y = ∂ y ∂ y = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ C y d x + 2 x d y = ∫ ∫ 2 - 1 d A = ∫ ∫ 1 d A

∫ C y d x + 2 x d y = ∫ ∫ d A

A integral da derivada da área é justamente igual a área da região.

∫ C y d x + 2 x d y = A

∫ C y d x + 2 x d y = 1 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ C y d x + 2 x d y = 1 2

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