Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Considere a curva parametrizada por r t = cos 3 ⁡ t , sin 3 ⁡ t , t ∈ 0 ,   2 π . O comprimento de arco entre os pontos 1 ,   0 e 0 ,   1 é igual a

(a) 1 4

(b) 1

(c) Nenhuma das opções

(d) 3 2

(e) 5 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos que calcular o comprimento da curva parametrizada por r t = cos 3 ⁡ t , sin 3 ⁡ t onde t pertence ao intervalo 0 e 2 π .

Porém, queremos saber o comprimento entre os pontos 1,0 e 0,1 , ou seja

cos 3 ⁡ t = 1 sin 3 ⁡ t = 0 ,     cos 3 ⁡ t = 0 sin 3 ⁡ t = 1

Para cos 3 ⁡ t ser igual a 1 e sin 3 ⁡ t ser igual a 0 , t deve ser 0 . Já para cos 3 ⁡ t ser igual a 0 e sin 3 ⁡ t ser igual a 1 , t deve ser π 2 logo

t = 0 , π 2

Ok, mas como fazemos para calcular esse comprimento?? 🤔

O comprimento de uma curva parametrizada é dado pela fórmula

L = ∫ 0 π 2 r ' t d t

Logo o que precisamos fazer é calcular a derivada de r e obter seu módulo.

Entendeu? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada de r

r ' t = d cos 3 ⁡ t d t , d sin 3 ⁡ t d t

Pela rega da cadeia, a derivada de dentro multiplicada pela derivava de fora

d cos 3 ⁡ t d t = - sin ⁡ t · 3 c o s 2 t = - 3 sin ⁡ t c o s 2 t  

d sin 3 ⁡ t d t = cos ⁡ t · 3 s i n 2 t = 3 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t

Resultando em

r ' t = - 3 sin ⁡ t c o s 2 t , 3 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t

Logo o módulo desse vetor derivado é dado por

r ' t = - 3 sin ⁡ t c o s 2 t 2 + 3 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t 2

r ' t = 9 s i n 2 t cos 4 ⁡ t + 9 c o s 2 t sin 4 ⁡ t

Manipulando os valores dentro da raiz

r ' t = 9 s i n 2 t cos 2 ⁡ t c o s 2 t + sin 2 ⁡ t

Como c o s 2 t + sin 2 ⁡ t = 1 , temos

r ' t = 9 s i n 2 t cos 2 ⁡ t

Aplicando uma propriedade de radical

r ' t = 9 s i n 2 t cos 2 ⁡ t

Ou seja, o modulo de r ' t é dado por

r ' t = 3 sin ⁡ t cos ⁡ t

Agora podemos substituir esse resultado na formula!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com isso, temos

L = ∫ 0 π 2 3 sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Pelo método de substituição u = sin ⁡ t e d u = cos ⁡ t .

∫ 3 u d u = 3 u 1 + 1 1 + 1 = 3 u 2 2

Substituindo u por sin ⁡ t de volta, temos

∫ 3 sin ⁡ t cos ⁡ t d t = 3 sin ⁡ t 2 2

Aplicando os limites de integração.

∫ 0 π 2 3 sin ⁡ t cos ⁡ t d t = 3 sin ⁡ π 2 2 2 - 3 sin ⁡ 0 2 2

∫ 0 π 2 3 sin ⁡ t cos ⁡ t d t = 3 2

Ou seja, o comprimento do arco entre os pontos 1,0 e 0,1 formado pela curva parametrizada r t é de 3 / 2 !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

(d) 3 2

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