Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

USP - Cálculo 2 - P1 2012 - 2b – Modificado

Seja S a superfície de equação - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 . Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano 2 x + y = 2 .

Passo 1

Essa superfície S é bem difícil de esboçar, galera, se você não conseguiu não tem problema. A gente vai te mostrar aqui como ela é, mas você pode fazer a questão sem esse esboço. A superfície S é essa aqui

Precisamos da interseção dessa curva com o plano 2 x + y = 2 , o esboço é esse

Vamos precisar analisar as duas equações pra dar um jeito de escrever tudo em função de um parâmetro só, vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As equações são essas aqui

- 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

2 x + y = 2

Vamos tentar isolar algum termo na segunda e substituir na primeira pra ver como fica

y = 2 - 2 x

Tendo y isolado, agora vamos substituir na primeira equação

- 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + 2 - 2 x - 1 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + 1 - 2 x 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + 1 - 4 x + 4 x 2 + z 2 = 1

2 x 2 - 4 x + z 2 = 0

2 x 2 - 2 x + z 2 = 0

Precisamos transformar esse termo ( x 2 - 2 x ) em algo da forma x - a 2

x - a 2 = x 2 - 2 a x + a 2 = x 2 - 2 x + a 2

- 2 a x = - 2 x

a = 1

a 2 = 1

Voltando pra equação

2 x 2 - 2 x + z 2 = 0

2 x 2 - 2 x + 1 x - 1 2 - 1 + z 2 = 0

2 x - 1 2 - 2 + z 2 = 0

2 x - 1 2 + z 2 = 2

Não podemos parametrizar ainda com a equação dessa forma, precisamos deixar o termo 1 do lado direito da equação! Não tem problema, só dividir por 2 nos dois lados

2 x - 1 2 + z 2 = 2

x - 1 2 + z 2 2 = 1

Passo 3

Tendo a equação dessa forma, para parametrizar é só relacionar isso com a equação fundamental que diz

cos 2 t + sen 2 t = 1

x - 1 2 = cos 2 t

x = 1 + cos t

z 2 2 = sen 2 t

z = 2 sen t

0 t 2 π

Passo 4

Pronto, agora que temos a parametrização de x e z fica fácil achar a de y , só procurar alguma equação mais fácil e substituir. A equação do plano parece mais simples, né?

y = 2 - 2 x

y = 2 - 2 1 + cos t

y = 2 - 2 - 2 cos t

y = - 2 cos t

Passo 5

Pronto! Só resumindo tudo aqui na resposta e ficamos com a seguinte parametrização

x t = 1 + cos t

y t = - 2 cos t

z t = 2 sen t

0 t 2 π

Resposta

x t = 1 + cos t

y t = - 2 cos t

z t = 2 sen t

0 t 2 π

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