Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Elaboração Própria

Parametrize a curva C dada pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano x + y + 2 z = 3

Passo 1

Bom, galera, interseção de superfícies aqui, né? Vamos esboçar tudo aqui antes de mais nada pra visualizar melhor a questão

A curva é essa aqui

Para parametrizar isso vamos ter que analisar as equações das superfícies

x 2 + y 2 = 1

x + y + 2 z = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar essa primeira equação do cilindro ali de cima, podemos parametrizar pela equação fundamental da trigonometria

cos 2 t + sen 2 t = 1

x 2 = cos 2 t

y 2 = sen 2 t

x t = cos t

y t = sen t

0 t 2 π

Bem simples até, né? Foi porque escolhemos essa equação, que é uma daquelas clássicas, primeiro! Sempre comece pela equação que é fácil de ser parametrizada, beleza?

Passo 3

Vamos continuar aqui então. Já temos x e y parametrizados, certo? Conseguimos encontrar os parâmetros de z pela equação do plano!

x + y + 2 z = 3

2 z = 3 - x - y

z = 3 - x - y 2

Substituindo os valores de x = cos t e y = sen t

z = 3 - cos t - sen t 2

E pronto, agora só pra organizar, nossa curva pode ser escrita de uma forma única como

σ t = cos t , sen t , 3 - cos t - sen t 2

0 t 2 π

Resposta

σ t = cos t , sen t , 3 - cos t - sen t 2

0 t 2 π

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