Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

27. Seja S a parte do plano z = 2 x + 3 limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 . Uma parametrização da superfície S é

a) x = u c o s v , y = u s e n v , z = 2 u c o s v + 3 com v ∈ 0,2 π e u ∈ 0,1 .

b) x = cos ⁡ v , y = s e n v , z = 2 u + 3 , com v ∈ 0,2 π e u ∈ 0,1 .

c) x = u , y = v , z = 2 u + 3 com v ∈ - 1,1 e u ∈ - 1,1 .

d) x = cos ⁡ v , y = s e n v , z = u com v ∈ 0,2 π e u ∈ 0,2 cos ⁡ v + 3

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter uma parametrização para a superfície S que é dada pelo plano z = 2 x + 3 limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Como vamos fazer isso? 🤔

A parametrização de uma curva envolve expressar cada coordenada da curva como uma função de um ou dois parâmetros. Isso significa que podemos descrever a curva como um conjunto de equações paramétricas, onde cada equação dá a coordenada da curva em relação a um parâmetro específico.

Quando parametrizamos uma curva, buscamos facilitar o entendimento sob aquela curva ou área em específico.

Sacou? 😉

Passo 2

Vamos começar plotando nossa superfície S .

Ela faz parte do plano z = 2 x + 3 e é limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1

Ou seja

A esquerda vemos o plano e o cilindro formando nossa superfície e a direita vemos a superfície.

Se visualizarmos essa região de cima, vemos que a figura que é projetada no plano x y é uma circunferência de raio 1 x 2 + y 2 = 1 . Se lembrarmos da parametrização para coordenadas polares, podemos aplicar algo muito parecido aqui.

Se fizermos x = u c o s v e y = u s e n v , conseguimos descrever toda a projeção de S no plano x y .

Porém ainda falta projetarmos a altura z . Como z = 2 x + 3 e x = u c o s v , então

z = 2 u c o s v + 3

Portanto, a parametrização de S no domínio de u , v é

S u , v = u c o s v , u s e n v , 2 u c o s v + 3

Com u sendo o raio da projeção em x y variando de 0 a 1 e v o ângulo que a projeção faz com a origem, no caso de 0 a 2 π

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) x = u c o s v , y = u s e n v , z = 2 u c o s v + 3 com v ∈ 0,2 π e u ∈ 0,1

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