Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Considere a reta L no espaço R 3 parametrizada pela função vetorial r t = 1 + t ,   2 ,   5 + t , t ∈ R . Qual das seguintes equações descreve um plano que não intersecta a reta acima?

(a) - 4 x + 2 y + 3 z = 0

(b) - x - 2 y + z = 0

(c) 2 x - 2 y - 2 z = 0

(d) 2 x - 3 y + 4 z = 0

(e) Nenhuma das opções

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão é muito interessante! Temos uma reta parametrizada dada por r t = 1 + t ,   2 ,   5 + t e alguns planos nas alternativas.

A ideia é indicar qual dos planos é paralelo a r t .

Ok, mas como fazemos isso?? 🤔🤔

A ideia é a gente trabalhar com o produto interne entre o vetor paramétrico da reta e um vetor normal ao plano.

Por exemplo, temos um plano a x + b y + c z = 0 o vetor normal a ele é dado pelos valores multiplicados por x ,   y e z , ou seja N → = a , b , c .

O nosso vetor paramétrico de r t é dado pelos valores que multiplicam t , ou seja v → = 1,0 , 1

Logo se v → , N → = 0 significa que a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.

Entendeu? Bora lá!

Passo 2

O que vamos fazer é calcular os vetores para cada plano, ou seja.

Para o plano (a) - 4 x + 2 y + 3 z = 0

O vetor normal vai ser obtido pelos índices que multiplicam as variáveis x y z , ou seja

N → a = - 4,2 , 3

Agora verificamos se v → , N → a = 0 é satisfeito.

v → , N → a = 1 - 4 + 0 2 + 3 1

v → , N → a = - 1

Então o plano (a) não é paralelo a r t .

Vamos analisar o plano (b) - x - 2 y + z = 0

Podemos observar que seu vetor normal é

N → b = - 1 , - 2,1

Calculando o produto interno v → , N → b , temos

v → , N → b = 1 - 1 + 0 - 2 + 1 1

v → , N → b = 0

Opa!! Temos um forte candidato aqui, o que fazemos agora é verificar se a reta está contida no plano.

Uma reta paramétrica é dada por

x y z = x 0 y 0 z 0 + k t l t m t

Onde x 0 , y 0 e z 0 são coordenadas de um ponto pertencente à reta. Então se substituirmos esses valores no plano e a equação for satisfeita, a reta está contida no plano.

Entendeu? Veja só! 😁

Passo 3

Como r t pode ser escrito como

r t = 1 2 5 + t 0 t

Substituindo o ponto 1,2 , 5 no plano

- 1 - 2 2 + 5 = 0

0 = 0

A equação foi satisfeita, logo a reta esta contida no plano. Esse não é o plano que estamos buscando, vamos continuar!

No plano (c) 2 x - 2 y - 2 z = 0 vemos que o vetor normal é dado por

N → c = 2 , - 2 , - 2

Calculando o produto interno v → , N → c , temos

v → , N → c = 1 2 + 0 - 2 + 1 - 2

v → , N → c = 0

Eitaa! Encontramos mais um candidato!

Vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente para descobrir se r t está contida no plano.

Substituindo 1,2 , 5 em 2 x - 2 y - 2 z = 0

2 1 - 2 2 - 2 5 = 0  

- 12 ≠ 0

Ebaa! Encontramos o plano paralelo a r t , então se são paralelos não se intersectam nunca!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

(c) 2 x - 2 y - 2 z = 0

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