Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule ∫ 2 x y d s , em que C é o arco de x 2 + y 2 = 4 do ponto 2,0 ao ponto 1 , 3 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar do resultado da seguinte integral de linha:

∫ 2 x y d s

Lembrando que seu caminho C é o arco de:

x 2 + y 2 = 4

Do ponto 2,0 ao ponto 1 , 3 .

Para resolver esse problema temos que parametrizar a curva C em termos de t e depois aplicar na integral.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, parametrizando a curva, temos:

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sin ⁡ t

Agora, vamos calcular as diferenciais d x e d y e termos de d t :

d x = - 2 sin ⁡ d t

d y = 2 cos ⁡ t   d t

Nesse sentido, vamos calcular o elemento de comprimento d s em termos de d x e d y :

d s = d x d t 2 + d y d t 2 d t ∴

d s = - 2 sin ⁡ d t 2 + 2 cos ⁡ t   d t 2 ∴

d s = 2 d t

E, pelos pontos que nos foram dados, percebemos que:

  • Quando x = 2 cos ⁡ t = 2 , temos t = 0 ;
  • E, quando x = 2 cos ⁡ t = 1 , temos t = π 3 .

Assim, substituindo as expressões para d s ,   x e y na integral de linha e os limites de integração, temos:

∫ 2 x y d s = 8 ∫ 0 π 3 cos ⁡ t sin ⁡ t   d t

Passo 3

Por fim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

8 ∫ 0 π 3 cos ⁡ t sin ⁡ t   d t =

Utilizando a identidade trigonométrica sin ⁡ 2 t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t , temos:

= 8 ∫ 0 π 3 sin ⁡ 2 t 2   d t ∴

= 4   - cos ⁡ 2 t 2 π 3 0 ∴

= 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 4

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