Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Ver Teoria

Enunciado

Seja F → x , y , z = y z e x z i + e x z j + x y e x z k .

  1. Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → em que C é a curva

r → t = t 2 + 1 i + t 2 - 1 j +   t 2 - 2 t k ,         0 ≤ t ≤ 2 .    

Passo 1

Opa! O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha do campo

F → x , y , z = y z e x z i + e x z j + x y e x z k

por esse caminho doido aí. Só que tem uma coisa... O próprio enunciado já nos disse que o campo F → x , y , z é conservativo isso quer dizer que a integral de linha dele independe do caminho que a gente escolha desde que os pontos inicial e final sejam os mesmos do caminho inicial.Olha lá, essa curva doida aí

r → t = t 2 + 1 i + t 2 - 1 j +   t 2 - 2 t k

Começa em t =   0 , então começa em

r → 0 = 0 + 1 i + 0 - 1 j +   0 - 0 k = i - j

r → 0 = ( 1 ,   - 1 ,   0 )

E termina em t = 2 , ou seja, em:

r → 2 = 2 2 + 1 i + 2 2 - 1 j +   2 2 - 2.2 k r → 2 = 5 i + 3 j = ( 5,3 , 0 )  

Então a nossa tarefa é bolar um caminho que começa em ( 1,1 , 0 ) e termina em ( 5,3 , 0 ) e o caminho mais fácil que liga dois pontos é uma reta. Então no fundo o que a gente vai fazer é calcular

∫ C F → ⋅ d r →

Onde C agora é uma reta que liga os pontos ( 1 , - 1,0 ) e ( 5,3 , 0 ) .

Passo 2

Vamos escrever a equação paramétrica de uma reta que liga os pontos ( 1 , - 1,0 ) e ( 5,3 , 0 ) . A equação deve ter essa cara aqui

x t = a t + x 0 y t = b t + y 0 z t = c t + z 0

Mas quem são esses a ,   b , c   x 0 ,   y 0   e   z 0 ? Bem, o a ,   b e o c são as componentes de um vetor paralelo à reta. A gente calcula esses caras usando dois pontos da reta... Que pontos? O problema já nos dois os pontos ( 1 ,   - 1 , 0 ) e ( 5 , 3 , 0 ) a gente precisa apenas fazer uma subtração entre eles n → =   5 , 3 ,   0 - 1 , - 1 , 0 = ( 4 , 4,0 )

Dessa forma a gente tem a = 4 b = 4 c = 0

O x 0 ,   y 0 e o z 0 são as componentes de qualquer ponto da reta. Para facilitar, vou usar o ponto ( 1 ,   - 1 , 0 ) então temos

x 0 = 1 y 0 = - 1 z 0 = 0

Então a gente conseguiu a parametrização

x t = 4 t + 1 y t = 4 t - 1 z t = 0  

Ou podemos definir essa reta por

σ → t = x t ,   y t ,   z t σ → t = ( 4 t + 1 ,   4 t - 1 ,   0 )

Passo 3

A gente resolve a integral de linha do problema usando ∫ c F → x , y , z ⋅ d r → =   ∫ t i t f F → x t , y t ,   z ( t ) ⋅ σ → ' ( t ) d t

Usando que começamos em t i = 0 e t f = 2 , a reta que a gente construiu σ → t e

F → x , y , z = y z e x z i + e x z j + x y e x z k Nossa tarefa agora é escrever esse campo F → x , y , z usando o x t ,   y ( t ) e o z ( t ) que a gente encontrou. Como z t = 0 isso simplifica o nosso problema e temos

F → x t , y t , z ( t ) = 0 i + e 0 j + x t . y t e 0 k F → x t , y t , z ( t ) = 0 i + j + 4 t + 1 4 t - 1 k F → x t , y t , z ( t ) =   0 i + j + 16 t 2 - 1 k = ( 0,1 , 16 t 2 - 1 )

Precisamos também calcular aquele σ → ' ( t ) que é simplesmente a derivada de cada componente de σ → ( t ) em relação a t

σ → ' t = x ' t ,   y ' t ,   z ' t σ → ' t = 4 t + 1 ' ,   4 t - 1 ' ,   0 = ( 4,4 , 0 )

Passo 4

Juntando nossos resultados a gente reescreve

∫ t i t f F → x t , y t ,   z ( t ) ⋅ σ → ' ( t ) d t =   ∫ 0 2 ( 0,1 , 16 t 2 - 1 ) ∙ 4,4 , 0 d t Resolvendo o produto escalar que surge na integral temos

∫ 0 2 ( 0,1 , 16 t 2 - 1 ) ∙ 4,4 , 0 d t =   ∫ 0 2 ( 0 . 4 +   1 . 4 + 16 t 2 - 1 . 0 ) d t =   ∫ 0 2 4 d t = 8

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 8

Exercícios de Livros Relacionados

Como se calcula a área de uma superfície parametrizada no espa-ço? E de uma superfície implicitamente definida F(x, y, z) = 0?E da superfície que é o gráfico de z = ƒ(x, y)? Dê exemplos
Calcule 1C F ∙ T ds para o campo vetorial F = x2i – yj ao longoda curva x = y2 de (4, 2) a (1, –1).
Calcule int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de ( - 1,1 ) a ( 2,4 )
O que são integrais de linha? Como elas são calculadas? Dêexemplos
Calcule as integrais nos Exercícios 9 e 10.10. ∫ y 2d x + x 2d x C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .