Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

f)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar do resultado da seguinte integral de linha:

∫ x 2   d s

Lembrando que seu caminho γ é dado por:

x = cos ⁡ 2 t

y = sin ⁡ 2 t

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π .

Para resolver esse problema temos que parametrizar a curva γ em termos de t e depois aplicar na integral.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, parametrizando a curva, temos:

x = cos ⁡ 2 t

y = sin ⁡ 2 t

Onde t está no intervalo 0 , 2 π .

Agora, vamos calcular as diferenciais d x e d y e termos de d t :

d x = - 2 sin ⁡ 2 t d t

d y = 2 cos ⁡ 2 t d t

Nesse sentido, vamos calcular o elemento de comprimento d s em termos de d x e d y :

d s = d x 2 + d y 2 ∴

d s = - 2 sin ⁡ 2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 d t ∴

d s = 2 sin 2 ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t d t ∴

d s = 2   d t

Assim, substituindo as expressões para d s ,   x e y na integral de linha, temos:

∫ x 2   d s = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ 2 t 2 d t ∴

∫ x 2   d s = 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ 2 t d t

Passo 3

Por fim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ 2 t d t =

Utilizando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , temos:

2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 4 t 2   d t =

= 2 ∫ 0 2 π 1 2   d t + ∫ 0 2 π cos ⁡ 4 t 2   d t ∴

= ∫ 0 2 π 1   d t + ∫ 0 2 π cos ⁡ 4 t   d t

= t 2 π 0 ∴

= 2 π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 2 π

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