Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

b) a curva de equação 4 x 2 + 4 y 2 + 10 x + 4 y - 6 = 0 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que obter a equação paramétrica da curva de equação 4 x 2 + 4 y 2 + 10 x + 4 y - 6 = 0 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para obter a equação paramétrica de uma curva, temos que escrever x e y em função de uma única variavel fazendo x = g t , y = h t e z = p t .

Dessa forma, nossa função paramétrica será dada por

f t = g t , h x , p x

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Nesse caso, podemos manipular a equação e verificar se podemos fazer alguma simplificação.

Perceba que nessa equação temos x 2 e y 2 , então podemos suspeitar que podemos aplicar a parametrização por coordenadas polares...

Se a equação é dada por

4 x 2 + 4 y 2 + 10 x + 4 y - 6 = 0

x 2 + y 2 + 5 2 x + y - 3 2 = 0

Completando quadrados em x

x + 5 4 2 - 25 16 + y 2 + y - 3 2 = 0

Agora para y

x + 5 4 2 - 25 16 + y + 1 2 2 - 1 4 - 3 2 = 0

x + 5 4 2 + y + 1 2 2 = 25 16 + 1 4 + 3 2

x + 5 4 2 + y + 1 2 2 = 53 16

Dessa forma podemos aplicar o método de parametrização por coordenadas polares...

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

x = r cos ⁡ t + x 0 y = r sin ⁡ t + y 0

A partir da equação acima temos que x = 53 4 cos ⁡ t - 5 4 e y = 53 4 sin ⁡ t - 1 2

Portanto f t será dada por

f t = 53 4 cos ⁡ t - 5 4 ,   53 4 sin ⁡ t - 1 2 ,     t ∈ 0,2 π

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

f t = 53 4 cos ⁡ t - 5 4 ,   53 4 sin ⁡ t - 1 2 ,     t ∈ 0,2 π

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