Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule ∫ C 3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z , do ponto A ( 0 ,   0 ,   0 ) ao ponto B ( 1 ,   1 ,   2 ) , ao longo dos caminhos:

b) interseção das superfícies z = x 2 + y 2 e y = x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma integral de linha pra ser calculada na região de interseção entre as curvas z = x 2 + y 2 e y = x , do ponto A ( 0 ,   0 ,   0 ) ao ponto B ( 1 ,   1 ,   2 ) .

Pra calcular essa integral, vamos precisar parametrizar a curva. Isso significa que vamos colocar tudo no mesmo parâmetro, por exemplo, t . Em seguida, vamos substituir na função a ser integrada e fazer as continhas.

Vamos lá!

Passo 2

Como nossa região de integração é a interseção entre as curvas, vamos substituir y = x em z = x 2 + y 2 :

z = x 2 + x 2

z = 2 x 2

Vamos chamar x = t para parametrizar nossa curva. Assim,

y = t

z 2 = 2 t 2

Como o enunciado nos deu, x vai de 0 a 1 . Então:

0 ≤ t ≤ 1

Agora só falta calcular as derivadas:

d x = d t

d y = d t

d z = 4 t   d t

Passo 3

Substituindo os resultados na integral, temos:

∫ C 3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z

= ∫ 0 1 3 t 2 t 2 d t + 4 t ( 2 t 2 )   d t + 2 t ( t )   ( 4 t   d t )

Colocando d t em evidência:

= ∫ 0 1 ( 6 t 3 + 8 t 3 + 8 t 3 )   d t

= ∫ 0 1 22   t 3   d t

Calculando a integral:

= 22 t 3 + 1 3 + 1 0 1 = 22 t 4 4 0 1

Aplicando os intervalos de integração:

22 1 4 4 - 0 4 4

= 22 1 4

= 11 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

11 2

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